Номер 9, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*9. Мотоциклист въезжает на высокий берег рва (см. рис. 3.12). Какую минимальную скорость должен иметь мотоциклист в момент отрыва от берега, чтобы перескочить ров? Величины, указанные на рисунке, считать известными.

Рис. 3.12

(Ответ: $v_0 = \frac{s}{\cos\alpha} \sqrt{\frac{g}{2(h+s\tan\alpha)}} $)

Дано:

$\text{s}$ – ширина рва,

$\text{h}$ – глубина рва,

$\alpha$ – угол наклона трамплина,

$\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Все величины считаются заданными в системе СИ.

Найти:

$v_0$ – минимальная начальная скорость.

Решение:

Рассмотрим движение мотоциклиста как движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту. Введем систему координат: начало координат $\text{O}$ поместим в точку отрыва мотоциклиста от берега, ось $OX$ направим горизонтально, а ось $OY$ – вертикально вверх.

В момент отрыва ($t=0$) начальные условия движения будут следующими:

Начальные координаты: $x(0) = 0$, $y(0) = 0$.

Проекции начальной скорости $v_0$ на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Законы движения по осям координат (без учета сопротивления воздуха) имеют вид:

По оси $OX$ (равномерное движение):

$x(t) = v_{0x} t = v_0 t \cos\alpha$ (1)

По оси $OY$ (равноускоренное движение с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз):

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t \sin\alpha - \frac{gt^2}{2}$ (2)

Для того чтобы мотоциклист перескочил ров, он должен приземлиться на другом берегу. Это означает, что за время полета $\text{T}$ он должен преодолеть по горизонтали расстояние $\text{s}$. При этом его вертикальное смещение будет равно $-h$ (поскольку он приземляется ниже точки старта).

Таким образом, в момент времени $t=T$ координаты мотоциклиста равны $x(T) = s$ и $y(T) = -h$.

Подставим эти значения в уравнения (1) и (2):

$s = v_0 T \cos\alpha$

$-h = v_0 T \sin\alpha - \frac{gT^2}{2}$

Из первого уравнения выразим время полета $\text{T}$:

$T = \frac{s}{v_0 \cos\alpha}$

Подставим это выражение для $\text{T}$ во второе уравнение:

$-h = v_0 \sin\alpha \left( \frac{s}{v_0 \cos\alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{s}{v_0 \cos\alpha} \right)^2$

Упростим полученное выражение, учитывая, что $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$:

$-h = s \cdot \text{tg}\alpha - \frac{gs^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}$

Наша цель - найти $v_0$. Выразим слагаемое, содержащее $v_0$:

$\frac{gs^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} = h + s \cdot \text{tg}\alpha$

Теперь выразим $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{gs^2}{2 \cos^2\alpha (h + s \cdot \text{tg}\alpha)}$

Чтобы найти минимальную скорость $v_0$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_0 = \sqrt{\frac{gs^2}{2 \cos^2\alpha (h + s \cdot \text{tg}\alpha)}} = \frac{s}{\cos\alpha} \sqrt{\frac{g}{2(h + s \cdot \text{tg}\alpha)}}$

Ответ:

$v_0 = \frac{s}{\cos\alpha} \sqrt{\frac{g}{2(h + s \cdot \text{tg}\alpha)}}$