Номер 6, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*6. Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением $a = 2g$. Через 10 с полета двигатель отключается. Через какое время с момента старта ракета упадет на землю?

(Ответ: 55,5 c)

Дано:

Ускорение ракеты на первом этапе: $a_1 = 2g$

Время работы двигателя: $t_1 = 10 \text{ с}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

В системе СИ:

$a_1 = 2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 19.6 \text{ м/с}^2$

$t_1 = 10 \text{ с}$

Найти:

Общее время полета ракеты $\text{T}$.

Решение:

Движение ракеты можно разделить на три этапа:

1. Движение с работающим двигателем (вертикально вверх с ускорением).

Ракета стартует с нулевой начальной скоростью. За время $t_1 = 10 \text{ с}$ она движется с ускорением $a_1 = 2g$.

Найдем высоту $h_1$ и скорость $v_1$, которые ракета достигнет к моменту отключения двигателя:

Высота: $h_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{2g t_1^2}{2} = g t_1^2$.

Подставим значения: $h_1 = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2 = 980 \text{ м}$.

Скорость: $v_1 = a_1 t_1 = 2g t_1$.

Подставим значения: $v_1 = 2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 196 \text{ м/с}$.

2. Движение вверх по инерции после отключения двигателя.

После отключения двигателя ракета продолжает лететь вверх, но теперь на нее действует только ускорение свободного падения, направленное вниз ($a_2 = -g$). Начальная скорость для этого этапа равна $v_1$. Ракета будет подниматься до тех пор, пока ее скорость не станет равной нулю.

Найдем время подъема $t_2$ до максимальной точки:

$0 = v_1 - g t_2 \implies t_2 = \frac{v_1}{g} = \frac{2g t_1}{g} = 2t_1 = 2 \cdot 10 \text{ с} = 20 \text{ с}$.

Максимальная высота подъема $H_{max}$ складывается из высоты $h_1$ и дополнительной высоты $\Delta h$, на которую ракета поднялась после отключения двигателя.

$\Delta h = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(2gt_1)^2}{2g} = \frac{4g^2t_1^2}{2g} = 2gt_1^2$.

$H_{max} = h_1 + \Delta h = gt_1^2 + 2gt_1^2 = 3gt_1^2$.

Подставим значения: $H_{max} = 3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2 = 2940 \text{ м}$.

3. Свободное падение с максимальной высоты.

С высоты $H_{max}$ ракета падает с нулевой начальной скоростью и ускорением $\text{g}$.

Найдем время падения $t_3$:

$H_{max} = \frac{g t_3^2}{2} \implies t_3 = \sqrt{\frac{2H_{max}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3gt_1^2}{g}} = \sqrt{6t_1^2} = t_1\sqrt{6}$.

Подставим значение $t_1$: $t_3 = 10\sqrt{6} \text{ с}$.

$t_3 \approx 10 \cdot 2.45 = 24.5 \text{ с}$.

Общее время полета $\text{T}$ равно сумме времен всех трех этапов:

$T = t_1 + t_2 + t_3 = 10 \text{ с} + 20 \text{ с} + 10\sqrt{6} \text{ с} = (30 + 10\sqrt{6}) \text{ с}$.

$T \approx 30 + 24.5 = 54.5 \text{ с}$.

Ответ: $T = (30 + 10\sqrt{6}) \text{ с} \approx 54.5 \text{ с}$.