Номер 7, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. Пушка и цель находятсяна одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. За какое время снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели? $g = 10 \text{ м/с}^2$.

(Ответ: 25 с и 41 с)

Дано:

Расстояние, $L = 5,1 \text{ км}$

Начальная скорость, $v_0 = 240 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$

$L = 5,1 \text{ км} = 5100 \text{ м}$

Найти:

Время полета, $\text{t}$

Решение:

Движение снаряда можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Пусть снаряд выпущен под углом $\alpha$ к горизонту.

Координаты снаряда в зависимости от времени $\text{t}$ описываются следующими уравнениями:

По горизонтальной оси X: $x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

По вертикальной оси Y: $y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

По условию задачи, пушка и цель находятся на одном уровне. Это значит, что в момент попадания в цель ($t > 0$) вертикальная координата снаряда снова станет равной нулю, $y(t) = 0$, а горизонтальная координата будет равна расстоянию до цели, $x(t) = L$.

Из уравнения для $y(t) = 0$ найдем время полета:

$v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2} = 0$

$t \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент выстрела) и $t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$ (момент попадания в цель).

Выразим $\sin(\alpha)$ через время полета $\text{t}$:

$\sin(\alpha) = \frac{gt}{2v_0}$

Теперь рассмотрим движение по горизонтали. В момент времени $\text{t}$ снаряд пролетает расстояние $\text{L}$:

$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

Выразим $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{L}{v_0 t}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, подставив в него полученные выражения для $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$:

$\left(\frac{gt}{2v_0}\right)^2 + \left(\frac{L}{v_0 t}\right)^2 = 1$

$\frac{g^2 t^2}{4v_0^2} + \frac{L^2}{v_0^2 t^2} = 1$

Умножим обе части уравнения на $4v_0^2 t^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$g^2 t^4 + 4L^2 = 4v_0^2 t^2$

Перенесем все члены в левую часть и получим биквадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$g^2 t^4 - 4v_0^2 t^2 + 4L^2 = 0$

Сделаем замену $z = t^2$. Уравнение примет вид квадратного:

$g^2 z^2 - 4v_0^2 z + 4L^2 = 0$

Подставим числовые значения:

$g^2 = 10^2 = 100$

$v_0^2 = 240^2 = 57600$

$4v_0^2 = 4 \cdot 57600 = 230400$

$L^2 = 5100^2 = 26010000$

$4L^2 = 4 \cdot 26010000 = 104040000$

Получаем уравнение:

$100z^2 - 230400z + 104040000 = 0$

Разделим все члены на 100:

$z^2 - 2304z + 1040400 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2304)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1040400 = 5308416 - 4161600 = 1146816$

Найдем корни уравнения для $\text{z}$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2304 \pm \sqrt{1146816}}{2} \approx \frac{2304 \pm 1070,895}{2}$

$z_1 \approx \frac{2304 - 1070,895}{2} = \frac{1233,105}{2} \approx 616,55$

$z_2 \approx \frac{2304 + 1070,895}{2} = \frac{3374,895}{2} \approx 1687,45$

Теперь найдем время $\text{t}$, сделав обратную замену $t = \sqrt{z}$:

$t_1 = \sqrt{z_1} \approx \sqrt{616,55} \approx 24,83 \text{ с}$

$t_2 = \sqrt{z_2} \approx \sqrt{1687,45} \approx 41,08 \text{ с}$

Два решения соответствуют двум возможным углам броска (навесной и настильной траекториям), при которых снаряд попадает в цель на том же уровне. Округляя полученные значения до целых чисел, получаем ответы, указанные в условии.

Ответ: снаряд достигнет цели за время, примерно равное 25 с или 41 с.