Номер 2, страница 76, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Имеется аккумулятор, ЭДС и внутреннее сопротивление которого неизвестны, амперметр, соединительные провода и два резистора с известным и неизвестным сопротивлением. Предложите способ определения величины неизвестного сопротивления. Приведите расчеты.

Для определения величины неизвестного сопротивления необходимо выполнить три последовательных измерения силы тока, используя имеющееся оборудование. Поскольку ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора неизвестны, одного или двух измерений будет недостаточно для нахождения трех неизвестных величин (ЭДС $ \mathcal{E} $, внутреннее сопротивление $\text{r}$ и искомое сопротивление $R_x$).

Предлагаемый способ:

1. Собрать первую электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных аккумулятора, амперметра и резистора с известным сопротивлением $R_1$. Произвести измерение силы тока $I_1$.

2. Разобрать первую цепь и собрать вторую, в которой вместо резистора $R_1$ используется резистор с неизвестным сопротивлением $R_x$. Произвести измерение силы тока $I_2$.

3. Собрать третью цепь, в которой оба резистора ($R_1$ и $R_x$) соединены последовательно и подключены к аккумулятору через амперметр. Произвести измерение силы тока $I_3$.

На основе трех полученных значений силы тока ($I_1$, $I_2$, $I_3$) и известного сопротивления $R_1$ можно рассчитать искомое сопротивление $R_x$. Сопротивлением амперметра и соединительных проводов пренебрегаем.

Расчеты:

Дано:

Аккумулятор с ЭДС $ \mathcal{E} $ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ (величины неизвестны).

Известное сопротивление $R_1$.

Измеренная сила тока в цепи с $R_1$: $I_1$.

Измеренная сила тока в цепи с $R_x$: $I_2$.

Измеренная сила тока в цепи с последовательно соединенными $R_1$ и $R_x$: $I_3$.

Найти:

Неизвестное сопротивление $R_x$.

Решение:

Для каждой из трех собранных цепей запишем закон Ома для полной цепи:

1. Для цепи с резистором $R_1$:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$ (1)

2. Для цепи с резистором $R_x$:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_x + r}$ (2)

3. Для цепи с последовательно соединенными резисторами $R_1$ и $R_x$ (общее внешнее сопротивление $R_1 + R_x$):

$I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_x + r}$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $ \mathcal{E} $, $\text{r}$ и $R_x$. Решим эту систему, чтобы выразить $R_x$ через известные и измеренные величины ($R_1$, $I_1$, $I_2$, $I_3$).

Из уравнений (1) и (2) выразим ЭДС $ \mathcal{E} $ и приравняем полученные выражения:

$ \mathcal{E} = I_1(R_1 + r) $

$ \mathcal{E} = I_2(R_x + r) $

$ I_1(R_1 + r) = I_2(R_x + r) $

$ I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_x + I_2 r $

$ r(I_1 - I_2) = I_2 R_x - I_1 R_1 $

Отсюда выразим внутреннее сопротивление $\text{r}$:

$ r = \frac{I_2 R_x - I_1 R_1}{I_1 - I_2} $ (4)

Теперь приравняем выражения для $ \mathcal{E} $ из уравнений (2) и (3):

$ \mathcal{E} = I_2(R_x + r) $

$ \mathcal{E} = I_3(R_1 + R_x + r) $

$ I_2(R_x + r) = I_3(R_1 + R_x + r) $

$ I_2 R_x + I_2 r = I_3 R_1 + I_3 R_x + I_3 r $

$ r(I_2 - I_3) = I_3 R_1 + I_3 R_x - I_2 R_x $

Выразим $\text{r}$ еще раз:

$ r = \frac{I_3 R_1 + R_x(I_3 - I_2)}{I_2 - I_3} $ (5)

Теперь приравняем правые части уравнений (4) и (5), так как левые части равны $\text{r}$:

$ \frac{I_2 R_x - I_1 R_1}{I_1 - I_2} = \frac{I_3 R_1 + R_x(I_3 - I_2)}{I_2 - I_3} $

Решим это уравнение относительно $R_x$.

$ (I_2 R_x - I_1 R_1)(I_2 - I_3) = (I_3 R_1 + R_x(I_3 - I_2))(I_1 - I_2) $

$ I_2 R_x (I_2 - I_3) - I_1 R_1 (I_2 - I_3) = I_3 R_1 (I_1 - I_2) + R_x (I_3 - I_2)(I_1 - I_2) $

Сгруппируем слагаемые, содержащие $R_x$, в левой части уравнения:

$ R_x [I_2(I_2 - I_3) - (I_3 - I_2)(I_1 - I_2)] = I_1 R_1 (I_2 - I_3) + I_3 R_1 (I_1 - I_2) $

$ R_x [I_2(I_2 - I_3) + (I_2 - I_3)(I_1 - I_2)] = R_1 [I_1(I_2 - I_3) + I_3(I_1 - I_2)] $

Вынесем общий множитель $(I_2 - I_3)$ в левой части и раскроем скобки в правой:

$ R_x (I_2 - I_3) [I_2 + I_1 - I_2] = R_1 [I_1 I_2 - I_1 I_3 + I_1 I_3 - I_2 I_3] $

$ R_x (I_2 - I_3) I_1 = R_1 [I_1 I_2 - I_2 I_3] $

$ R_x I_1 (I_2 - I_3) = R_1 I_2 (I_1 - I_3) $

Наконец, выражаем искомое сопротивление $R_x$:

$ R_x = R_1 \frac{I_2 (I_1 - I_3)}{I_1 (I_2 - I_3)} $

Ответ: Для определения неизвестного сопротивления $R_x$ необходимо провести три измерения силы тока: $I_1$ (с известным резистором $R_1$), $I_2$ (с неизвестным резистором $R_x$) и $I_3$ (с последовательно соединенными $R_1$ и $R_x$). Искомое сопротивление вычисляется по формуле: $ R_x = R_1 \frac{I_2 (I_1 - I_3)}{I_1 (I_2 - I_3)} $.