Номер 3, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 3, страница 96.

Условие.

3. Узкая вертикальная трубка длиной $\text{L}$, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути длиной $\text{h}$. Плотность ртути равна $\rho$. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была длина $\text{l}$ столбика воздуха в трубке, если при перевёртывании трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Атмосферное давление равно $p_0$.

Решение.

Дано

Длина трубки: $\text{L}$

Начальная длина столбика ртути: $\text{h}$

Плотность ртути: $\rho$

Атмосферное давление: $p_0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Начальная длина столбика воздуха: $\text{l}$

Решение

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Будем считать процесс переворачивания изотермическим, то есть температура воздуха не изменяется. В этом случае к газу применим закон Бойля-Мариотта: $p_1V_1 = p_2V_2$, где $p_1$ и $V_1$ — начальное давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ — конечное давление и объем.

1. Начальное состояние (трубка открытым концом вверх).

Давление воздуха $p_1$ в трубке уравновешивает атмосферное давление $p_0$ и давление столбика ртути высотой $\text{h}$.

$p_1 = p_0 + \rho g h$

Объем воздуха $V_1$ равен произведению площади поперечного сечения трубки $\text{S}$ на начальную длину столбика воздуха $\text{l}$.

$V_1 = S \cdot l$

2. Конечное состояние (трубка открытым концом вниз).

После переворачивания трубки половина ртути вылилась, значит, высота оставшегося столбика ртути стала $h/2$.

В этом положении атмосферное давление $p_0$ уравновешивает давление воздуха в трубке $p_2$ и давление оставшегося столбика ртути.

$p_0 = p_2 + \rho g \frac{h}{2}$

Отсюда находим давление воздуха в конечном состоянии:

$p_2 = p_0 - \rho g \frac{h}{2}$

В конечном состоянии воздух и оставшаяся ртуть занимают всю длину трубки $\text{L}$. Если $l_2$ — новая длина столбика воздуха, то:

$l_2 + \frac{h}{2} = L$

Следовательно, новая длина столбика воздуха:

$l_2 = L - \frac{h}{2}$

Объем воздуха в конечном состоянии:

$V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot (L - \frac{h}{2})$

3. Применение закона Бойля-Мариотта.

Подставим полученные выражения для давлений и объемов в уравнение $p_1V_1 = p_2V_2$:

$(p_0 + \rho g h) \cdot (S \cdot l) = (p_0 - \rho g \frac{h}{2}) \cdot S \cdot (L - \frac{h}{2})$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается:

$(p_0 + \rho g h) \cdot l = (p_0 - \rho g \frac{h}{2}) \cdot (L - \frac{h}{2})$

Выразим искомую начальную длину столбика воздуха $\text{l}$:

$l = \frac{(p_0 - \rho g \frac{h}{2})(L - \frac{h}{2})}{p_0 + \rho g h}$

Ответ: $l = \frac{(p_0 - \frac{1}{2}\rho g h)(L - \frac{1}{2}h)}{p_0 + \rho g h}$