Номер 5, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Площадь сечения цилиндра автомобильного насоса $S = 10 \text{ см}^2$. Определите длину $\text{l}$ цилиндра, если известно, что для накачки шины объёмом $V = 0,02 \text{ м}^3$ от давления $p_0 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$ до давления $p = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}$ требуется совершить $n = 100$ качаний. Утечкой и нагреванием воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

$S = 10 \text{ см}^2$

$V = 0,02 \text{ м}^3$

$p_0 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$p = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$n = 100$

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

$\text{l}$

Решение:

По условию, нагреванием воздуха можно пренебречь, следовательно, процесс накачки шины можно считать изотермическим (температура воздуха $\text{T}$ постоянна).

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояния воздуха в шине:

Начальное состояние: $p_0 V = \nu_0 R T$

Конечное состояние: $p V = \nu R T$

Здесь $\nu_0$ и $\nu$ – начальное и конечное количество вещества (воздуха) в шине, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Количество вещества $\Delta\nu$, которое было добавлено в шину, равно:

$\Delta\nu = \nu - \nu_0 = \frac{pV}{RT} - \frac{p_0V}{RT} = \frac{(p - p_0)V}{RT}$

Это количество вещества было закачано насосом за $\text{n}$ качаний. За одно качание насос захватывает объем воздуха $V_{нас} = S \cdot l$ при атмосферном давлении $p_0$. Количество вещества в этом объеме равно:

$\nu_{1} = \frac{p_0 V_{нас}}{RT} = \frac{p_0 S l}{RT}$

За $\text{n}$ качаний в шину будет добавлено количество вещества:

$\Delta\nu = n \cdot \nu_{1} = \frac{n p_0 S l}{RT}$

Приравняем два выражения для $\Delta\nu$:

$\frac{(p - p_0)V}{RT} = \frac{n p_0 S l}{RT}$

Сократив $\text{RT}$, получим:

$(p - p_0)V = n p_0 S l$

Выразим отсюда искомую длину цилиндра $\text{l}$:

$l = \frac{(p - p_0)V}{n p_0 S}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l = \frac{(3 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 0,02 \text{ м}^3}{100 \cdot 1 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 0,02}{100 \cdot 10^5 \cdot 10^{-3}} = \frac{4000}{10000} = 0,4 \text{ м}$

Ответ: $l = 0,4 \text{ м}$.