Номер 9, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 9, страница 97.

Условие.

9. Открытую стеклянную колбу, имеющую форму шара радиусом $r = 2$ см с горлышком длиной $l = 10$ см и диаметром $d = 1$ см, нагрели до температуры $t_1$, а затем погрузили целиком в воду горлышком вниз. При охлаждении колбы вода вошла в горлышко. Когда температура колбы стала равной $t_2 = 13$ °C, её начали приподнимать из воды, не переворачивая, так чтобы шарообразная часть оказалась над водой, а горлышко — частично погружённым в воду. При этом, когда уровень воды в горлышке и в сосуде совпал, под водой осталась половина горлышка. Какова была температура $t_1$, до которой нагрели колбу?

Решение.

Дано:

Радиус шарообразной части колбы $r = 2 \text{ см}$

Длина горлышка $l = 10 \text{ см}$

Диаметр горлышка $d = 1 \text{ см}$

Конечная температура воздуха в колбе $t_2 = 13 \text{ }^\circ\text{C}$

Перевод в систему СИ:

$r = 0.02 \text{ м}$

$l = 0.1 \text{ м}$

$d = 0.01 \text{ м}$

$T_2 = t_2 + 273 = 13 + 273 = 286 \text{ К}$

Найти:

Начальная температура $t_1$

Решение:

Будем рассматривать два состояния воздуха, который оказался запертым в колбе после ее погружения в воду. Масса этого воздуха в процессе остается неизменной.

Состояние 1 (начальное): В момент перед погружением в воду, колба была открыта и нагрета до температуры $t_1$. Воздух внутри нее занимал весь объем колбы $V_1$ при атмосферном давлении $p_{атм}$ и температуре $T_1 = t_1 + 273$. Именно эта масса воздуха оказывается запертой при погружении.

Состояние 2 (конечное): После охлаждения и частичного подъема колбы из воды, ее температура стала $t_2$, а уровень воды в горлышке совпал с уровнем воды в сосуде. Совпадение уровней означает, что давление воздуха внутри колбы снова стало равно атмосферному давлению $p_{атм}$. Температура воздуха в этом состоянии $T_2 = t_2 + 273$. Объем, занимаемый воздухом, стал $V_2$, так как часть колбы (половина горлышка) заполнилась водой.

Поскольку давление воздуха в начальном и конечном состояниях одинаково и равно атмосферному ($p_1 = p_2 = p_{атм}$), процесс, связывающий эти два состояния для одной и той же массы газа, можно считать изобарным. Следовательно, применим закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим искомую начальную температуру $T_1$:

$T_1 = T_2 \cdot \frac{V_1}{V_2}$

Теперь найдем объемы $V_1$ и $V_2$. Так как в формулу входит отношение объемов, можно проводить вычисления в см³.

Объем шарообразной части колбы вычисляется по формуле объема шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (2 \text{ см})^3 = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3$

Объем горлышка колбы вычисляется по формуле объема цилиндра. Радиус горлышка $r_{горл} = d/2 = 1/2 = 0.5 \text{ см}$.

$V_{горлышка} = \pi r_{горл}^2 l = \pi (0.5 \text{ см})^2 \cdot 10 \text{ см} = 2.5\pi \text{ см}^3 = \frac{5}{2}\pi \text{ см}^3$

Начальный объем воздуха $V_1$ равен полному объему колбы:

$V_1 = V_{шара} + V_{горлышка} = \frac{32}{3}\pi + \frac{5}{2}\pi = (\frac{64 + 15}{6})\pi = \frac{79}{6}\pi \text{ см}^3$

Конечный объем воздуха $V_2$ равен объему шарообразной части и половины объема горлышка, так как вторая половина заполнена водой:

$V_2 = V_{шара} + \frac{1}{2}V_{горлышка} = \frac{32}{3}\pi + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}\pi = \frac{32}{3}\pi + \frac{5}{4}\pi = (\frac{128 + 15}{12})\pi = \frac{143}{12}\pi \text{ см}^3$

Подставим полученные значения объемов и температуру $T_2$ в формулу для $T_1$:

$T_1 = 286 \text{ К} \cdot \frac{V_1}{V_2} = 286 \text{ К} \cdot \frac{\frac{79}{6}\pi \text{ см}^3}{\frac{143}{12}\pi \text{ см}^3} = 286 \cdot \frac{79}{6} \cdot \frac{12}{143} = 286 \cdot \frac{79 \cdot 2}{143}$

Выполним вычисления. Заметим, что $286 = 2 \cdot 143$.

$T_1 = (2 \cdot 143) \cdot \frac{158}{143} = 2 \cdot 158 = 316 \text{ К}$

Наконец, переведем температуру $T_1$ из Кельвинов в градусы Цельсия:

$t_1 = T_1 - 273 = 316 - 273 = 43 \text{ }^\circ\text{C}$

Ответ: $43 \text{ }^\circ\text{C}$.