Номер 12, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 12, страница 97.

Условие.

12. Шар-зонд заполнен газом при температуре $t_1 = 27 \text{ °С}$ до давления $p_1 = 105 \text{ кПа}$. После подъёма шара на высоту, где давление $p_0 = 80 \text{ кПа}$, объём шара увеличился на $n = 5\%$ и давление в нём стало отличаться от внешнего на $\Delta p = 5 \text{ кПа}$. Определите температуру воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре приобрёл температуру окружающего воздуха.

Решение.

Дано:

$t_1 = 27 °\text{C}$
$p_1 = 105 \text{ кПа} = 105 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$p_0 = 80 \text{ кПа} = 80 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$n = 5\% = 0.05$
$\Delta p = 5 \text{ кПа} = 5 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Переведем начальную температуру в систему СИ (Кельвины):
$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$t_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона), так как масса газа в шаре-зонде остается постоянной. Уравнение для двух состояний газа (начального на земле и конечного на высоте) имеет вид:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p_1, V_1, T_1$ – начальные давление, объем и температура газа, а $p_2, V_2, T_2$ – конечные.

Определим параметры газа в конечном состоянии (на высоте).

Объем шара увеличился на $n = 5\%$, следовательно, новый объем $V_2$ связан с начальным объемом $V_1$ соотношением:

$V_2 = V_1 + 0.05 \cdot V_1 = 1.05 \cdot V_1$

Давление газа внутри шара на высоте $p_2$ отличается от внешнего атмосферного давления $p_0$ на величину $\Delta p$. Поскольку давление внутри шара должно быть больше внешнего, чтобы поддерживать его форму, то:

$p_2 = p_0 + \Delta p = 80 \text{ кПа} + 5 \text{ кПа} = 85 \text{ кПа}$

По условию, газ в шаре приобретает температуру окружающего воздуха, значит, искомая температура воздуха $t_2$ равна конечной температуре газа $T_2$ (выраженной в градусах Цельсия).

Выразим конечную температуру $T_2$ из уравнения состояния:

$T_2 = T_1 \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1}$

Подставим выражения для $p_2$ и $V_2$:

$T_2 = T_1 \frac{(p_0 + \Delta p) \cdot (1.05 V_1)}{p_1 V_1}$

Сократим $V_1$ и подставим числовые значения. Давление можно подставлять в килопаскалях, так как их отношение является безразмерной величиной.

$T_2 = 300 \text{ К} \cdot \frac{85 \text{ кПа} \cdot 1.05}{105 \text{ кПа}} = 300 \cdot \frac{89.25}{105} = 300 \cdot 0.85 = 255 \text{ К}$

Теперь переведем температуру из Кельвинов в градусы Цельсия:

$t_2 = T_2 - 273 = 255 - 273 = -18 °\text{C}$

Ответ: температура воздуха на этой высоте составляет -18 °C.