Номер 18, страница 98 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 18, страница 98.

Условие.

18. Два сосуда объёмом $V_1 = 200 \text{ см}^3$ и $V_2 = 100 \text{ см}^3$, наполненные кислородом при температуре $t = 27 \text{ °C}$ под давлением $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$, соединены трубкой, внутри которой находится теплоизолирующая пористая перегородка, обеспечивающая одинаковость давлений в сосудах. Затем первый сосуд нагрели до температуры $t_1 = 100 \text{ °C}$, а второй охладили до температуры $t_2 = 0 \text{ °C}$. Определите установившееся в системе давление.

Решение.

Дано:

$V_1 = 200 \text{ см}^3$

$V_2 = 100 \text{ см}^3$

$t = 27 \text{ °C}$

$p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$

$t_1 = 100 \text{ °C}$

$t_2 = 0 \text{ °C}$

$V_1 = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$
$V_2 = 100 \text{ см}^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$
$T_0 = t + 273.15 = 27 + 273.15 = 300.15 \text{ К}$ (для удобства расчетов примем $T_0 = 300 \text{ К}$)
$T_1 = t_1 + 273.15 = 100 + 273.15 = 373.15 \text{ К}$ (примем $T_1 = 373 \text{ К}$)
$T_2 = t_2 + 273.15 = 0 + 273.15 = 273.15 \text{ К}$ (примем $T_2 = 273 \text{ К}$)
$p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.} \approx 101325 \text{ Па}$

Найти:

$\text{p}$ — установившееся в системе давление.

Решение:

Поскольку сосуды соединены, но система в целом замкнута (газ не покидает систему), общее количество вещества (число молей) кислорода остается постоянным. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = nRT$, где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

В начальном состоянии система находится при температуре $T_0$ и давлении $p_0$. Общее количество вещества газа в двух сосудах: $n_{общ} = n_{01} + n_{02} = \frac{p_0 V_1}{R T_0} + \frac{p_0 V_2}{R T_0} = \frac{p_0(V_1 + V_2)}{R T_0}$

После изменения температур в сосудах установится новое равновесное состояние. Пористая перегородка обеспечивает равенство давлений в сосудах, но температуры будут разными. Пусть установившееся давление равно $\text{p}$. Тогда количество вещества в первом сосуде станет $n_1$, а во втором $n_2$: $n_1 = \frac{p V_1}{R T_1}$
$n_2 = \frac{p V_2}{R T_2}$

Общее количество вещества в конечном состоянии: $n_{общ} = n_1 + n_2 = \frac{p V_1}{R T_1} + \frac{p V_2}{R T_2} = \frac{p}{R} \left( \frac{V_1}{T_1} + \frac{V_2}{T_2} \right)$

Приравниваем выражения для общего количества вещества в начальном и конечном состояниях: $\frac{p_0(V_1 + V_2)}{R T_0} = \frac{p}{R} \left( \frac{V_1}{T_1} + \frac{V_2}{T_2} \right)$

Сокращаем $\text{R}$ и выражаем искомое давление $\text{p}$: $p = p_0 \frac{V_1 + V_2}{T_0} \cdot \frac{1}{\frac{V_1}{T_1} + \frac{V_2}{T_2}} = p_0 \frac{(V_1 + V_2) T_1 T_2}{T_0 (V_1 T_2 + V_2 T_1)}$

Подставим числовые значения. Объемы можно подставлять в см³, так как они входят в выражение в виде отношения. Давление $p_0$ подставим в мм рт. ст., тогда и результат получим в тех же единицах. $p = 760 \cdot \frac{(200 + 100) \cdot 373 \cdot 273}{300 \cdot (200 \cdot 273 + 100 \cdot 373)} = 760 \cdot \frac{300 \cdot 373 \cdot 273}{300 \cdot (54600 + 37300)}$ $p = 760 \cdot \frac{373 \cdot 273}{54600 + 37300} = 760 \cdot \frac{101829}{91900} \approx 760 \cdot 1.108 \approx 842.1 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: установившееся в системе давление $p \approx 842.1$ мм рт. ст.