Номер 11, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 11, страница 97.

Условие.

11. Два сосуда одинаковой вместимости содержат воздух, один при температуре $T_1$ и давлении $p_1$, другой при температуре $T_2$ и давлении $p_2$. Сосуды соединили тонкой трубкой и после выравнивания давлений и температур воздух нагрели до температуры $\text{T}$. Какое давление установится после нагревания?

Решение.

Дано:
Вместимость первого сосуда: $V_1 = V$
Начальная температура в первом сосуде: $T_1$
Начальное давление в первом сосуде: $p_1$
Вместимость второго сосуда: $V_2 = V$
Начальная температура во втором сосуде: $T_2$
Начальное давление во втором сосуде: $p_2$
Конечная температура системы: $\text{T}$

Найти:

Конечное давление: $\text{p}$

Решение:

Будем считать воздух идеальным газом. Состояние газа в каждом сосуде описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$, где $\text{p}$ — давление, $\text{V}$ — объем, $\nu$ — количество вещества (число молей), $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Найдем количество вещества в каждом сосуде до их соединения.
Для первого сосуда:
$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{R T_1} = \frac{p_1 V}{R T_1}$
Для второго сосуда:
$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{R T_2} = \frac{p_2 V}{R T_2}$

После соединения сосудов система становится единой. Так как система замкнута, общее количество вещества в ней равно сумме количеств вещества в каждом из сосудов до соединения:
$\nu_{общ} = \nu_1 + \nu_2 = \frac{p_1 V}{R T_1} + \frac{p_2 V}{R T_2}$

Общий объем, который занимает газ после соединения сосудов, равен сумме их объемов (объемом соединительной трубки пренебрегаем):
$V_{общ} = V_1 + V_2 = V + V = 2V$

После того как всю систему нагрели до температуры $\text{T}$, в ней установилось некоторое конечное давление $\text{p}$. Запишем уравнение состояния идеального газа для всей системы в конечном состоянии:
$p V_{общ} = \nu_{общ} R T$

Подставим в это уравнение найденные выражения для $\nu_{общ}$ и $V_{общ}$:
$p \cdot (2V) = \left( \frac{p_1 V}{R T_1} + \frac{p_2 V}{R T_2} \right) R T$

В правой части уравнения можно вынести за скобки общий множитель $\frac{V}{R}$:
$2pV = \frac{V}{R} \left( \frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2} \right) R T$

Сократим обе части уравнения на объем $\text{V}$ (так как $V \neq 0$) и на универсальную газовую постоянную $\text{R}$:
$2p = \left( \frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2} \right) T$

Наконец, выразим искомое конечное давление $\text{p}$:
$p = \frac{T}{2} \left( \frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2} \right)$

Ответ: $p = \frac{T}{2} \left( \frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2} \right)$.