Номер 8, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 8, страница 96.

Условие.

8. Вертикальный цилиндр, закрытый подвижным поршнем, содержит газ массой $m = 0.012\text{ кг}$. При температуре $t_1 = 177\text{ °С}$ объём газа равен $V_1 = 4\text{ л}$. При какой температуре $t_2$ плотность этого газа будет равна $\rho_2 = 5.3\text{ кг/м}^3$?

Решение.

Дано:

$m = 0,012$ кг
$t_1 = 177$ °C
$V_1 = 4$ л
$\rho_2 = 5,3$ кг/м³

Перевод в систему СИ:
Абсолютная температура $T_1 = t_1 + 273,15 = 177 + 273,15 = 450,15$ К (для удобства расчетов примем $T_1=450$ К).
Объём $V_1 = 4 \text{ л} = 4 \cdot 10^{-3}$ м³.

Найти:

$t_2$

Решение:

Поскольку газ находится в вертикальном цилиндре под подвижным поршнем, его давление постоянно (процесс изобарный, $p = const$). Давление создается атмосферой и весом самого поршня.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объём, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ связана с массой и объёмом соотношением $\rho = \frac{m}{V}$. Отсюда объём можно выразить как $V = \frac{m}{\rho}$.

Подставим это выражение для объёма в уравнение состояния:

$p \cdot \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT$

Сократив массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения, получим связь между давлением, плотностью и температурой:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Для изобарного процесса ($p=const$) с газом постоянного состава ($M=const$) можно утверждать, что произведение плотности на абсолютную температуру является постоянной величиной:

$\rho T = \frac{pM}{R} = const$

Следовательно, для начального (1) и конечного (2) состояний газа справедливо равенство:

$\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$

Сначала вычислим начальную плотность газа $\rho_1$:

$\rho_1 = \frac{m}{V_1} = \frac{0,012 \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = 3$ кг/м³

Теперь из полученного соотношения выразим и найдем конечную абсолютную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{\rho_1}{\rho_2}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = 450 \text{ К} \cdot \frac{3 \text{ кг/м}^3}{5,3 \text{ кг/м}^3} \approx 254,7$ К

Чтобы найти температуру в градусах Цельсия, вычтем 273 из абсолютной температуры:

$t_2 = T_2 - 273 = 254,7 - 273 \approx -18,3$ °C

Ответ: $t_2 \approx -18,3 \text{ °C}$.