Номер 6, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.12. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 6, страница 96.

Условие.

6. В цилиндре под поршнем находится воздух. Поршень имеет форму, показанную на рисунке 3.22. Масса поршня $m = 6$ кг, площадь сечения цилиндра $S = 20 \text{ см}^2$. Атмосферное давление $p_0 = 10^5$ Па. Найдите массу $m_1$ груза, который надо положить на поршень, чтобы объём $V_1$ воздуха в цилиндре уменьшился в 2 раза. Трение не учитывать. Температура постоянна.

Рис. 3.22

Решение.

Дано:
Масса поршня, $m = 6$ кг
Площадь сечения цилиндра, $S = 20 \text{ см}^2$
Атмосферное давление, $p_0 = 10^5 \text{ Па}$
Конечное соотношение объемов, $V_1 = V/2$
Температура постоянна, $T = \text{const}$

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

Массу груза, $m_1$

Решение:
Процесс, описанный в задаче, является изотермическим, так как температура воздуха под поршнем остается постоянной ($T = \text{const}$). Следовательно, для воздуха выполняется закон Бойля-Мариотта:$pV = p_1V_1$,
где $\text{p}$ и $\text{V}$ — начальные давление и объем воздуха, а $p_1$ и $V_1$ — конечные давление и объем.

1. Рассмотрим начальное состояние системы. Поршень находится в равновесии. Это означает, что сила давления газа изнутри ($\text{pS}$) уравновешивает сумму силы атмосферного давления ($p_0S$) и силы тяжести поршня ($\text{mg}$).$pS = p_0S + mg$
Отсюда начальное давление воздуха в цилиндре:$p = p_0 + \frac{mg}{S}$

2. Рассмотрим конечное состояние, когда на поршень помещен груз массой $m_1$. Объем воздуха стал $V_1 = V/2$. Поршень с грузом находится в новом положении равновесия. Теперь сила давления газа изнутри ($p_1S$) уравновешивает сумму силы атмосферного давления ($p_0S$), силы тяжести поршня ($\text{mg}$) и силы тяжести груза ($m_1g$).$p_1S = p_0S + mg + m_1g$
Отсюда конечное давление воздуха:$p_1 = p_0 + \frac{(m+m_1)g}{S}$

3. Используем закон Бойля-Мариотта и условие $V_1 = V/2$:$pV = p_1(V/2)$
$p = \frac{p_1}{2}$ или $p_1 = 2p$

Подставим выражения для давлений $\text{p}$ и $p_1$ в это соотношение:$p_0 + \frac{(m+m_1)g}{S} = 2 \left( p_0 + \frac{mg}{S} \right)$
Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $m_1$:$p_0 + \frac{mg}{S} + \frac{m_1g}{S} = 2p_0 + \frac{2mg}{S}$
$\frac{m_1g}{S} = 2p_0 - p_0 + \frac{2mg}{S} - \frac{mg}{S}$
$\frac{m_1g}{S} = p_0 + \frac{mg}{S}$
Умножим обе части уравнения на $\text{S}$:$m_1g = p_0S + mg$
$m_1 = \frac{p_0S + mg}{g} = \frac{p_0S}{g} + m$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.$m_1 = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{10 \text{ м/с}^2} + 6 \text{ кг} = \frac{200}{10} \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 20 \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 26 \text{ кг}$

Ответ: $m_1 = 26$ кг.