Номер 4, страница 348 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 105. Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора». Глава 14. Электростатика - номер 4, страница 348.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Сферический воздушный конденсатор.

Радиусы сфер: $R_1$ и $R_2$. Будем считать, что $R_1$ — радиус внутренней сферы, а $R_2$ — радиус внешней, т.е. $R_2 > R_1$.

Диэлектрик между обкладками — воздух, диэлектрическую проницаемость которого принимаем равной единице ($\varepsilon \approx 1$).

Электрическая постоянная — $\varepsilon_0$.

Найти:

Ёмкость конденсатора $C$.

Решение:

Электроёмкость конденсатора по определению — это отношение заряда $Q$ на одной из его обкладок к разности потенциалов (напряжению) $U$ между обкладками:

$C = \frac{Q}{U}$

Сообщим обкладкам конденсатора заряды: внутренней сфере радиусом $R_1$ — заряд $+Q$, а внешней сфере радиусом $R_2$ — заряд $-Q$.

Далее найдём напряжённость электрического поля $E$ в пространстве между сферами на произвольном расстоянии $r$ от их общего центра ($R_1 < r < R_2$). Согласно теореме Гаусса для сферы, напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью, за её пределами эквивалентна полю точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы. Поле внутри проводящей оболочки (внешней сферы), создаваемое её собственным зарядом, равно нулю. Следовательно, результирующее поле в пространстве между сферами определяется только зарядом внутренней сферы:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{Q}{r^2}$

Так как диэлектриком является воздух, его диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ можно принять равной 1. Тогда формула для напряжённости поля упрощается:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Разность потенциалов $U$ между обкладками (сферами) можно найти, проинтегрировав напряжённость электрического поля $E(r)$ по радиусу от $R_1$ до $R_2$:

$U = \varphi_1 - \varphi_2 = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr$

Подставим выражение для $E(r)$ и вычислим интеграл:

$U = \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r^2}$

$U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_1}^{R_2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{1}{R_2} - \left(-\frac{1}{R_1}\right) \right) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}$

Теперь, зная разность потенциалов $U$, мы можем найти ёмкость $C$, подставив полученное выражение в исходную формулу для ёмкости:

$C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\frac{Q(R_2 - R_1)}{4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2}} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

Ответ:

Ёмкость воздушного сферического конденсатора определяется формулой $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно ($R_2 > R_1$), а $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.