Номер 5, страница 348 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 105. Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора». Глава 14. Электростатика - номер 5, страница 348.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Толщина металлической пластины: $d_0$

Заряд на обкладках конденсатора: $q$

Расстояние между пластинами: $d$

Площадь пластин: $S$

Конденсатор воздушный, диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon \approx 1$.

Конденсатор отключен от источника ( $q = \text{const}$ ).

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$.

Все величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Изменение ёмкости конденсатора: $\Delta C$

Изменение энергии электрического поля: $\Delta W$

Решение:

Проанализируем состояние системы до и после введения металлической пластины. Поскольку конденсатор отключен от источника питания, заряд $q$ на его обкладках остается неизменным на протяжении всего процесса.

Изменение ёмкости конденсатора

Первоначальная ёмкость плоского воздушного конденсатора $C_1$ находится по формуле:

$C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{d} = \frac{\epsilon_0 S}{d}$ (так как для воздуха $\epsilon = 1$).

Когда в конденсатор вставляют металлическую пластину толщиной $d_0$, она занимает часть пространства между обкладками. Так как пластина является проводником, напряженность электрического поля внутри нее равна нулю. Это эквивалентно уменьшению расстояния между обкладками конденсатора на величину $d_0$. Новое эффективное расстояние между обкладками становится $d' = d - d_0$.

Таким образом, новая ёмкость конденсатора $C_2$ составит:

$C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0}$

Изменение ёмкости $\Delta C$ определяется как разность между конечной и начальной ёмкостью:

$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0} - \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Приводя выражение к общему знаменателю, получаем:

$\Delta C = \epsilon_0 S \left( \frac{1}{d - d_0} - \frac{1}{d} \right) = \epsilon_0 S \frac{d - (d - d_0)}{d(d - d_0)} = \epsilon_0 S \frac{d_0}{d(d - d_0)}$

Поскольку $d > d_0 > 0$, значение $\Delta C$ положительно, что указывает на увеличение ёмкости конденсатора.

Ответ: Изменение ёмкости конденсатора равно $\Delta C = \frac{\epsilon_0 S d_0}{d(d - d_0)}$.

Изменение энергии его электрического поля

Энергия электрического поля заряженного до заряда $q$ конденсатора вычисляется по формуле $W = \frac{q^2}{2C}$.

Начальная энергия конденсатора $W_1$ была:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2 \frac{\epsilon_0 S}{d}} = \frac{q^2 d}{2 \epsilon_0 S}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ после вставления пластины:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2 \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0}} = \frac{q^2 (d - d_0)}{2 \epsilon_0 S}$

Изменение энергии $\Delta W$ равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{q^2 (d - d_0)}{2 \epsilon_0 S} - \frac{q^2 d}{2 \epsilon_0 S}$

$\Delta W = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 S} ((d - d_0) - d) = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 S} (-d_0) = -\frac{q^2 d_0}{2 \epsilon_0 S}$

Так как все величины в правой части ($q^2, d_0, \epsilon_0, S$) положительны, изменение энергии $\Delta W$ является отрицательной величиной. Это означает, что энергия электрического поля конденсатора уменьшилась.

Ответ: Изменение энергии электрического поля равно $\Delta W = -\frac{q^2 d_0}{2 \epsilon_0 S}$.