Номер 4, страница 372 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Батарейка для карманного фонаря замкнута на резистор переменного сопротивления. При сопротивлении резистора, равном $1,65 \, \text{Ом}$, напряжение на нём равно $3,30 \, \text{В}$, а при сопротивлении, равном $3,50 \, \text{Ом}$, напряжение равно $3,50 \, \text{В}$. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление батарейки.

Дано:

Состояние 1:

Внешнее сопротивление $R_1 = 1,65$ Ом

Напряжение на резисторе $U_1 = 3,30$ В

Состояние 2:

Внешнее сопротивление $R_2 = 3,50$ Ом

Напряжение на резисторе $U_2 = 3,50$ В

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

ЭДС батарейки $\mathcal{E}$ - ?

Внутреннее сопротивление батарейки $r$ - ?

Решение:

Воспользуемся законом Ома для полной цепи. Сила тока $I$ в цепи определяется по формуле: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$ где $\mathcal{E}$ – ЭДС источника, $r$ – его внутреннее сопротивление, а $R$ – сопротивление внешней цепи (резистора).

Напряжение на внешнем резисторе $U$ связано с силой тока $I$ и сопротивлением $R$ по закону Ома для участка цепи: $U = I \cdot R$

Из этого соотношения можно выразить силу тока: $I = \frac{U}{R}$.

Подставим выражение для силы тока в закон Ома для полной цепи: $\mathcal{E} = I(R+r) = \frac{U}{R}(R+r) = U + \frac{U}{R}r$

У нас есть два различных состояния цепи, для каждого из которых мы можем записать это уравнение. Это позволит нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($\mathcal{E}$ и $r$).

1. Для первого случая ($R_1 = 1,65$ Ом, $U_1 = 3,30$ В):

$\mathcal{E} = U_1 + \frac{U_1}{R_1}r = 3,30 + \frac{3,30}{1,65}r$

$\mathcal{E} = 3,30 + 2r$

2. Для второго случая ($R_2 = 3,50$ Ом, $U_2 = 3,50$ В):

$\mathcal{E} = U_2 + \frac{U_2}{R_2}r = 3,50 + \frac{3,50}{3,50}r$

$\mathcal{E} = 3,50 + r$

Теперь у нас есть система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \mathcal{E} = 3,30 + 2r \\ \mathcal{E} = 3,50 + r \end{array} \right.$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти внутреннее сопротивление $r$:

$3,30 + 2r = 3,50 + r$

$2r - r = 3,50 - 3,30$

$r = 0,20$ Ом

Теперь, когда мы нашли внутреннее сопротивление, подставим его значение в любое из двух уравнений системы, чтобы найти ЭДС $\mathcal{E}$. Воспользуемся вторым уравнением:

$\mathcal{E} = 3,50 + r = 3,50 + 0,20 = 3,70$ В

Проверим результат, подставив $r$ в первое уравнение:

$\mathcal{E} = 3,30 + 2r = 3,30 + 2 \cdot 0,20 = 3,30 + 0,40 = 3,70$ В

Результаты совпадают.

Ответ: ЭДС батарейки равна 3,70 В, а ее внутреннее сопротивление составляет 0,20 Ом.