Номер 3, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 3, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Среднее расстояние от Солнца до Урана: $R_У = 2875,03 \text{ млн км}$

Среднее расстояние от Солнца до Земли: $R_З = 149,6 \text{ млн км}$

Средняя скорость движения Земли: $v_З = 30 \text{ км/с}$

$R_У = 2875,03 \times 10^6 \text{ км} = 2875,03 \times 10^9 \text{ м} \approx 2,875 \times 10^{12} \text{ м}$

$R_З = 149,6 \times 10^6 \text{ км} = 149,6 \times 10^9 \text{ м} \approx 1,496 \times 10^{11} \text{ м}$

$v_З = 30 \text{ км/с} = 30 \times 10^3 \text{ м/с} = 3 \times 10^4 \text{ м/с}$

Найти:

Средняя линейная скорость планеты Уран: $v_У$

Решение:

Движение планет вокруг Солнца происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает планетам центростремительное ускорение. Будем считать орбиты планет круговыми для простоты расчетов. В этом случае сила тяготения равна центростремительной силе:

$F_g = F_c$

Сила тяготения, действующая на планету массой $m$ со стороны Солнца массой $M_C$, на расстоянии $R$ от него, определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_C m}{R^2}$

Центростремительная сила для планеты, движущейся со скоростью $v$ по круговой орбите радиусом $R$, равна:

$F_c = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая эти две силы, получаем:

$G \frac{M_C m}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$

Сократив массу планеты $m$ и радиус $R$, выразим скорость движения планеты:

$v^2 = \frac{G M_C}{R}$

$v = \sqrt{\frac{G M_C}{R}}$

Из этой формулы видно, что скорость планеты обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса ее орбиты. Мы можем составить соотношение для скоростей Урана и Земли:

$\frac{v_У}{v_З} = \frac{\sqrt{G M_C / R_У}}{\sqrt{G M_C / R_З}} = \sqrt{\frac{G M_C}{R_У} \cdot \frac{R_З}{G M_C}} = \sqrt{\frac{R_З}{R_У}}$

Отсюда выразим скорость Урана:

$v_У = v_З \sqrt{\frac{R_З}{R_У}}$

Подставим известные значения. Для удобства можно использовать расстояния в миллионах километров, так как их отношение не зависит от единиц измерения.

$v_У = 30 \text{ км/с} \cdot \sqrt{\frac{149,6 \text{ млн км}}{2875,03 \text{ млн км}}}$

$v_У \approx 30 \cdot \sqrt{0,052034}$

$v_У \approx 30 \cdot 0,2281$

$v_У \approx 6,843 \text{ км/с}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: средняя линейная скорость планеты Уран приблизительно равна $6,8$ км/с.