Номер 2, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 2, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса спутника, $m = 1$ т

Начальный радиус орбиты, $r_1 = R_З + h$

Конечный радиус орбиты, $r_2 = R_З + 2h$

Высота, $h = 200$ км

Примем справочные данные:

Радиус Земли, $R_З \approx 6400$ км

Гравитационный параметр Земли, $\mu = G M_З \approx 3.986 \times 10^{14}$ м³/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 1000$ кг

$h = 200 \times 10^3$ м $= 2 \times 10^5$ м

$R_З = 6400 \times 10^3$ м $= 6.4 \times 10^6$ м

$r_1 = R_З + h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 0.2 \times 10^6 \text{ м} = 6.6 \times 10^6$ м

$r_2 = R_З + 2h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 2 \times 0.2 \times 10^6 \text{ м} = 6.8 \times 10^6$ м

Найти:

Суммарный импульс силы, $\Delta p_{total}$.

Решение:

Переход спутника с одной круговой орбиты на другую, более высокую, осуществляется с помощью эллиптической переходной орбиты (Гомановской траектории). Этот маневр требует двух кратковременных включений двигателя, которые сообщают спутнику два импульса. Общий импульс силы, необходимый для маневра, равен сумме модулей этих двух импульсов.

1. Сначала найдем скорость спутника на начальной круговой орбите радиусом $r_1$. Для движения по круговой орбите сила гравитационного притяжения равна центростремительной силе: $F_g = F_c \implies G\frac{M_З m}{r_1^2} = m\frac{v_1^2}{r_1}$ Отсюда скорость на первой орбите: $v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_1}} = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{6.6 \times 10^6}} \approx 7771$ м/с.

2. Аналогично найдем скорость спутника на конечной круговой орбите радиусом $r_2$: $v_2 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_2}} = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{6.8 \times 10^6}} \approx 7657$ м/с.

3. Переходная траектория представляет собой эллипс, перигей которого находится на начальной орбите ($r_1$), а апогей — на конечной ($r_2$). Большая полуось этого эллипса равна: $a = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{6.6 \times 10^6 + 6.8 \times 10^6}{2} = 6.7 \times 10^6$ м.

4. Первый импульс сообщается в перигее, чтобы перевести спутник с круговой орбиты ($v_1$) на эллиптическую. Скорость в перигее переходной орбиты ($v_p$) найдем по уравнению виз-вива: $v_p = \sqrt{G M_З \left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{a}\right)} = \sqrt{3.986 \times 10^{14} \left(\frac{2}{6.6 \times 10^6} - \frac{1}{6.7 \times 10^6}\right)} \approx 7828$ м/с.

5. Второй импульс сообщается в апогее, чтобы перевести спутник с эллиптической орбиты на конечную круговую ($v_2$). Скорость спутника в апогее переходной орбиты ($v_a$) до включения двигателя: $v_a = \sqrt{G M_З \left(\frac{2}{r_2} - \frac{1}{a}\right)} = \sqrt{3.986 \times 10^{14} \left(\frac{2}{6.8 \times 10^6} - \frac{1}{6.7 \times 10^6}\right)} \approx 7599$ м/с.

6. Теперь можем вычислить необходимые приращения скорости ($\Delta v$) для каждого импульса. Двигатели включаются по направлению движения. Приращение скорости для первого импульса: $\Delta v_1 = v_p - v_1 = 7828 - 7771 = 57$ м/с. Приращение скорости для второго импульса: $\Delta v_2 = v_2 - v_a = 7657 - 7599 = 58$ м/с.

7. Импульс силы равен изменению импульса тела ($\Delta p = m \Delta v$). Первый импульс: $\Delta p_1 = m \Delta v_1 = 1000 \text{ кг} \times 57 \text{ м/с} = 57000$ кг·м/с. Второй импульс: $\Delta p_2 = m \Delta v_2 = 1000 \text{ кг} \times 58 \text{ м/с} = 58000$ кг·м/с.

8. Суммарный импульс силы, подействовавший на спутник, равен сумме модулей двух сообщенных импульсов: $\Delta p_{total} = \Delta p_1 + \Delta p_2 = 57000 + 58000 = 115000$ кг·м/с.

Ответ: суммарный импульс силы, подействовавший на спутник, равен $115000$ кг·м/с или $1.15 \times 10^5$ кг·м/с.