Номер 5, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 5, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса Сатурна: $M = 5,7 \cdot 10^{26} \text{ кг}$

Период обращения частиц: $T = 10 \text{ ч } 40 \text{ мин}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$T = 10 \text{ ч} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} + 40 \text{ мин} \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 36000 \text{ с} + 2400 \text{ с} = 38400 \text{ с}$

Найти:

Скорость частиц $v$.

Решение:

Частицы в кольце Сатурна движутся по круговой орбите. Движение по такой орбите возможно благодаря силе всемирного тяготения, которая действует со стороны Сатурна и сообщает частицам центростремительное ускорение. Таким образом, гравитационная сила равна центростремительной силе:

$F_{гр} = F_{ц}$

Где гравитационная сила определяется законом всемирного тяготения:

$F_{гр} = G \frac{M m}{r^2}$

А центростремительная сила, действующая на частицу массы $m$, движущуюся со скоростью $v$ по орбите радиусом $r$, равна:

$F_{ц} = \frac{m v^2}{r}$

Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу частицы $m$ и радиус $r$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M}{r}$

Отсюда скорость $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$.

Нам неизвестен радиус орбиты $r$, но известен период обращения $T$. Скорость движения по окружности связана с периодом и радиусом следующим соотношением:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Из этого выражения выразим радиус орбиты $r$:

$r = \frac{v T}{2 \pi}$

Теперь подставим полученное выражение для радиуса в формулу для скорости:

$v^2 = \frac{G M}{\frac{v T}{2 \pi}} = \frac{2 \pi G M}{v T}$

Умножим обе части уравнения на $v$:

$v^3 = \frac{2 \pi G M}{T}$

Отсюда найдем скорость $v$, извлекая кубический корень:

$v = \sqrt[3]{\frac{2 \pi G M}{T}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt[3]{\frac{2 \pi \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5,7 \cdot 10^{26} \text{ кг}}{38400 \text{ с}}}$

$v \approx \sqrt[3]{\frac{2,39 \cdot 10^{17} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}}{3,84 \cdot 10^4 \text{ с}}} \approx \sqrt[3]{6,22 \cdot 10^{12} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^3}}$

$v \approx 1,84 \cdot 10^4 \text{ м/с}$

Это значение можно также выразить в километрах в секунду:

$v \approx 18,4 \text{ км/с}$

Ответ: скорость движения частиц составляет примерно $1,84 \cdot 10^4 \text{ м/с}$ или $18,4 \text{ км/с}$.