Номер 1, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 1, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Скорость частиц, $v = 10$ км/c

Масса Сатурна, $M = 5,7 \cdot 10^{26}$ кг

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$v = 10 \text{ км/с} = 10 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^4$ м/с

Найти:

Радиус кольца, $R$

Решение:

Частицы в кольце Сатурна движутся по круговой орбите. Сила всемирного тяготения, действующая на частицу со стороны Сатурна, сообщает ей центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения $F_g$ между Сатурном (масса $M$) и частицей (масса $m$) на расстоянии $R$ равна:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

Центростремительная сила $F_c$, необходимая для движения частицы по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$, равна:

$F_c = \frac{m v^2}{R}$

Приравниваем эти две силы, так как гравитационная сила и является центростремительной силой в данном случае:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$

Масса частицы $m$ сокращается, что означает, что радиус орбиты не зависит от массы частиц в кольце:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Выразим из этой формулы искомый радиус $R$:

$R = \frac{G M}{v^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ. Для удобства проверки размерности представим единицу измерения гравитационной постоянной через основные единицы СИ: $1 \text{ Н} = 1 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}$, следовательно $G$ измеряется в $\frac{\text{м}^3}{\text{кг} \cdot \text{с}^2}$.

$R = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{м}^3}{\text{кг} \cdot \text{с}^2} \cdot 5,7 \cdot 10^{26} \text{ кг}}{(10^4 \text{ м/с})^