Номер 2, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 2, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Среднее расстояние от Земли до Солнца, $r_З = 149,6 \text{ млн км}$

Среднее расстояние от Юпитера до Солнца, $r_Ю = 778,3 \text{ млн км}$

Перевод в систему СИ:

$r_З = 149,6 \times 10^6 \text{ км} = 149,6 \times 10^9 \text{ м} = 1,496 \times 10^{11} \text{ м}$

$r_Ю = 778,3 \times 10^6 \text{ км} = 778,3 \times 10^9 \text{ м} = 7,783 \times 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Отношение линейных скоростей $\frac{v_З}{v_Ю}$.

Решение:

Согласно условию, мы считаем орбиты планет круговыми. Движение планеты по круговой орбите вокруг Солнца обеспечивается силой всемирного тяготения, которая выполняет роль центростремительной силы. По второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения, действующая на планету массой $m$ со стороны Солнца массой $M$ на расстоянии $r$, равна:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила, необходимая для движения планеты по окружности радиусом $r$ с линейной скоростью $v$, равна:

$F_{цс} = \frac{m v^2}{r}$

Приравниваем выражения для сил:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Мы можем сократить массу планеты $m$ и один раз радиус $r$ в обеих частях уравнения:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можно выразить линейную скорость планеты:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Из полученной формулы следует, что линейная скорость планеты на круговой орбите обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса её орбиты ($v \propto 1/\sqrt{r}$).

Теперь мы можем записать отношение линейной скорости Земли ($v_З$) к линейной скорости Юпитера ($v_Ю$):

$\frac{v_З}{v_Ю} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{r_З}}}{\sqrt{\frac{G M}{r_Ю}}}$

Поскольку $G$ и $M$ (масса Солнца) являются константами, они сокращаются:

$\frac{v_З}{v_Ю} = \sqrt{\frac{1/r_З}{1/r_Ю}} = \sqrt{\frac{r_Ю}{r_З}}$

Подставим в формулу заданные значения средних расстояний от планет до Солнца. Так как мы ищем отношение величин, их можно подставлять в любых одинаковых единицах измерения (в данном случае — в млн км).

$\frac{v_З}{v_Ю} = \sqrt{\frac{778,3}{149,6}} \approx \sqrt{5,2025} \approx 2,28$

Ответ: отношение линейных скоростей Земли и Юпитера составляет примерно 2,28.