Номер 3, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 3, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Период обращения астероида, $T = 410$ сут.

Для расчетов потребуются также справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Солнца, $M_C \approx 1.989 \cdot 10^{30}$ кг

Перевод в СИ:

Период обращения необходимо выразить в секундах. В одних сутках 24 часа, в одном часе 3600 секунд.

$T = 410 \text{ сут} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут}} \times 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 35424000 \text{ с} \approx 3.542 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

Расстояние от астероида до Солнца, $a$ - ?

Решение:

Для определения расстояния от астероида до Солнца воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера. Так как орбита небесного тела в общем случае является эллипсом, под "расстоянием" будем понимать среднее расстояние, то есть большую полуось орбиты $a$.

Третий закон Кеплера, выведенный Ньютоном из закона всемирного тяготения, имеет вид:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_C+m)}$

где $T$ — период обращения, $a$ — большая полуось орбиты, $G$ — гравитационная постоянная, $M_C$ — масса Солнца, а $m$ — масса астероида.

Масса любого астероида пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца ($m \ll M_C$), поэтому слагаемым $m$ в знаменателе можно пренебречь. Формула упрощается:

$\frac{T^2}{a^3} \approx \frac{4\pi^2}{GM_C}$

Из этого соотношения выразим большую полуось $a$:

$a^3 = \frac{GM_C T^2}{4\pi^2}$

$a = \sqrt[3]{\frac{GM_C T^2}{4\pi^2}}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$a = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (1.989 \cdot 10^{30}) \cdot (3.542 \cdot 10^7)^2}{4\pi^2}}$

Проведем вычисления поэтапно:

1. Произведение в числителе: $GM_C \approx (6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (1.989 \cdot 10^{30}) \approx 1.327 \cdot 10^{20} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$

2. Квадрат периода: $T^2 = (3.542 \cdot 10^7)^2 \approx 1.255 \cdot 10^{15} \text{ с}^2$

3. Полное значение числителя: $(1.327 \cdot 10^{20}) \cdot (1.255 \cdot 10^{15}) \approx 1.665 \cdot 10^{35} \text{ м}^3$

4. Знаменатель: $4\pi^2 \approx 4 \cdot (3.1416)^2 \approx 39.478$

5. Вычисляем значение подкоренного выражения:

$a^3 \approx \frac{1.665 \cdot 10^{35}}{39.478} \approx 0.04218 \cdot 10^{35} \text{ м}^3 \approx 4.218 \cdot 10^{33} \text{ м}^3$

6. Извлекаем кубический корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt[3]{4.218 \cdot 10^{33}} = \sqrt[3]{4.218} \cdot \sqrt[3]{10^{33}} \approx 1.616 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Ответ:

Расстояние от астероида до Солнца составляет приблизительно $1.616 \cdot 10^{11}$ м (или 161.6 миллионов километров).