Номер 4, страница 101 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 31. Первая космическая скорость. Глава 3. Силы в механике - номер 4, страница 101.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Для вывода выражения для периода обращения спутника планеты рассмотрим спутник массой $m$, который движется по круговой орбите радиусом $r$ вокруг планеты массой $M$. Предполагаем, что масса спутника значительно меньше массы планеты ($m \ll M$), поэтому центр масс системы можно считать совпадающим с центром планеты.

Движение спутника по орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая действует между спутником и планетой. Эта сила является центростремительной силой, удерживающей спутник на орбите.

1. Сила всемирного тяготения, согласно закону Ньютона, равна: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная.

2. Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, выражается через массу спутника $m$, его линейную скорость $v$ и радиус орбиты $r$: $F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r}$

3. Так как гравитационная сила и есть та самая центростремительная сила, мы можем их приравнять: $F_g = F_c$ $G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

4. Упростим уравнение, сократив массу спутника $m$ (это показывает, что движение не зависит от массы спутника) и один $r$: $G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можно найти орбитальную скорость спутника: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

5. Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Длина орбиты (окружности) равна $L = 2 \pi r$. Скорость движения по окружности связана с периодом соотношением: $v = \frac{L}{T} = \frac{2 \pi r}{T}$

6. Теперь приравняем два полученных выражения для скорости $v$: $\frac{2 \pi r}{T} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

7. Нам нужно найти период $T$. Для этого выразим его из уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: $(\frac{2 \pi r}{T})^2 = \frac{G M}{r}$ $\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$

8. Теперь выразим $T^2$: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2 \cdot r}{G M}$ $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

9. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем окончательное выражение для периода обращения спутника: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$

Это выражение известно как третий закон Кеплера в его обобщенной форме для круговых орбит.

Ответ: Выражение для периода обращения спутника планеты имеет вид $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$, где $T$ — период обращения, $r$ — радиус орбиты, $M$ — масса планеты, а $G$ — гравитационная постоянная.