Номер 1, страница 101 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 31. Первая космическая скорость. Глава 3. Силы в механике - номер 1, страница 101.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Первая космическая скорость ($v_1$), также известная как круговая скорость, — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на определённой высоте над поверхностью планеты (или другого массивного небесного тела), чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Рассмотрим тело массой $m$, находящееся на круговой орбите радиусом $r$ вокруг планеты массой $M$. Для удержания на этой орбите на тело должна действовать центростремительная сила, роль которой выполняет гравитационная сила притяжения планеты.

Сила всемирного тяготения: $F_г = G\frac{Mm}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила: $F_ц = \frac{mv_1^2}{r}$.

Приравнивая эти две силы, получаем условие движения по круговой орбите: $$G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv_1^2}{r}$$

Отсюда можно выразить первую космическую скорость: $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Для орбиты, находящейся вблизи поверхности планеты, можно считать, что радиус орбиты $r$ примерно равен радиусу планеты $R$. Также, ускорение свободного падения у поверхности планеты $g$ определяется как $g = G\frac{M}{R^2}$. Из этого соотношения можно выразить $GM = gR^2$ и подставить в формулу для скорости: $$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$$

Таким образом, первая космическая скорость определяет:

• Минимальную скорость, необходимую для выхода на круговую орбиту вокруг небесного тела.
• Границу между баллистической траекторией (когда тело падает обратно на планету) и орбитальным движением. Если скорость тела меньше $v_1$, оно упадёт на планету. Если скорость равна $v_1$, оно будет двигаться по круговой орбите. Если скорость больше $v_1$ (но меньше второй космической скорости), оно будет двигаться по эллиптической орбите.

Значение первой космической скорости зависит только от массы и радиуса небесного тела (или от ускорения свободного падения на его поверхности и радиуса), но не зависит от массы запускаемого объекта. Для Земли (у поверхности) её значение составляет примерно 7,91 км/с.

Ответ: Первая космическая скорость определяет минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности небесного тела, чтобы оно не упало обратно, а стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Она является пороговым значением скорости для выхода на орбиту.