Номер 1, страница 100 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 31. Первая космическая скорость. Глава 3. Силы в механике - номер 1, страница 100.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся вблизи поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Докажем формулу для её вычисления.

Дано:

Закон всемирного тяготения: $F = G \frac{Mm}{r^2}$

Формула центростремительной силы: $F_{цс} = \frac{mv^2}{r}$

Определение ускорения свободного падения у поверхности планеты: $g = G \frac{M}{R^2}$

Найти:

Доказать, что первая космическая скорость $v_1$ может быть рассчитана по формуле $v_1 = \sqrt{gR}$.

Решение:

Рассмотрим тело (спутник) массой $m$, которое движется по круговой орбите вокруг планеты массой $M$. Будем считать, что орбита проходит на небольшой высоте над поверхностью, поэтому радиус орбиты можно принять равным радиусу планеты $R$.

Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, на него должна действовать центростремительная сила. В данном случае роль центростремительной силы выполняет сила всемирного тяготения, действующая со стороны планеты.

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник:

$F_{тяг} = G \frac{Mm}{R^2}$

Центростремительная сила, необходимая для поддержания движения по круговой орбите со скоростью $v_1$:

$F_{цс} = \frac{mv_1^2}{R}$

Приравняем эти две силы, так как сила тяготения и является центростремительной силой:

$F_{тяг} = F_{цс}$

$G \frac{Mm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$

Сократим в этом уравнении массу спутника $m$ (слева и справа) и одну степень радиуса $R$:

$G \frac{M}{R} = v_1^2$

Отсюда можно выразить первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Это одна из формул для расчета первой космической скорости. Теперь свяжем её с ускорением свободного падения $g$. Ускорение свободного падения у поверхности планеты определяется силой тяжести, которая, в свою очередь, является силой гравитационного притяжения.

$F_{тяж} = mg$

Приравнивая к силе всемирного тяготения:

$mg = G \frac{Mm}{R^2}$

Сократив массу тела $m$, получим выражение для $g$:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этого соотношения выразим произведение $GM$:

$GM = gR^2$

Подставим это выражение в нашу формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}}$

Упростив выражение под корнем, получаем искомую формулу:

$v_1 = \sqrt{gR}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $v_1 = \sqrt{gR}$ доказана.