Номер 2, страница 101 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом 20 000 км. Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг. Определите скорость корабля.

1) 4,5 км/с

2) 6,3 км/с

3) 8 км/с

4) 11 км/с

Дано:

$r = 20000 \text{ км} = 20 \cdot 10^3 \text{ км} = 20 \cdot 10^6 \text{ м} = 2 \cdot 10^7 \text{ м}$

$M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Космический корабль удерживается на круговой орбите силой всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила выступает в качестве центростремительной силы, которая заставляет корабль двигаться по окружности. По второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения ($F_т$) вычисляется по формуле:

$F_т = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса корабля, а $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до корабля).

Центростремительная сила ($F_ц$), необходимая для движения по окружности, определяется как:

$F_ц = \frac{m v^2}{r}$

где $v$ — орбитальная скорость корабля.

Приравниваем выражения для сил:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Мы видим, что масса корабля $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить. Также можно сократить $r$ в знаменателе с обеих сторон:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Теперь выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{2 \cdot 10^7 \text{ м}}}$

Выполним вычисления:

$v = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{2 \cdot 10^7}} = \sqrt{20,01 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v \approx 4,473 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Переведем результат в километры в секунду, разделив на 1000:

$v \approx 4473 \text{ м/с} \approx 4,47 \text{ км/с}$

Полученное значение скорости наиболее близко к варианту ответа 1) 4,5 км/с.

Ответ: $4,5 \text{ км/с}$.