Номер 4, страница 104 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость». Глава 3. Силы в механике - номер 4, страница 104.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Средняя плотность некоторой планеты (индекс «П») равна средней плотности планеты Земля (индекс «З»): $\rho_П = \rho_З$.

Радиус этой планеты в 2 раза больше радиуса Земли: $R_П = 2 R_З$.

Найти:

Отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле: $\frac{v_П}{v_З}$.

Решение:

Первая космическая скорость ($v$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Она определяется формулой: $v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, а $R$ — ее радиус.

Массу планеты можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $V$. Принимая планету за шар, ее объем равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса планеты: $M = \rho \cdot V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим это выражение для массы в формулу первой космической скорости: $v = \sqrt{\frac{G \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho}$

Из полученной формулы видно, что при одинаковой средней плотности ($\rho = \text{const}$) первая космическая скорость прямо пропорциональна радиусу планеты ($v \propto R$).

Запишем отношение первой космической скорости на планете к первой космической скорости на Земле: $\frac{v_П}{v_З} = \frac{R_П\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_П}}{R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}}$

По условию задачи $\rho_П = \rho_З$. Поэтому постоянные множители и корни из плотностей в числителе и знаменателе сокращаются: $\frac{v_П}{v_З} = \frac{R_П}{R_З}$

Теперь подставим известное из условия соотношение радиусов $R_П = 2 R_З$: $\frac{v_П}{v_З} = \frac{2 R_З}{R_З} = 2$

Таким образом, первая космическая скорость на этой планете в 2 раза больше, чем на Земле.

Ответ: 2.