Номер 1, страница 140 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 43. Работа силы тяжести и силы упругости. Консервативные силы. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 1, страница 140.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Для доказательства того, что работа силы тяжести при перемещении тела по ломаной линии определяется выражением (4.22), представим эту траекторию как последовательность прямолинейных отрезков и найдем суммарную работу.

Дано:

Тело массой $m$ перемещается из начальной точки 1 на высоте $h_1$ в конечную точку 2 на высоте $h_2$. Траектория движения — ломаная линия, которую можно представить как совокупность $N$ малых прямолинейных перемещений. Сила тяжести, действующая на тело, $\vec{F_g} = m\vec{g}$, постоянна и направлена вертикально вниз.

Найти:

Доказать, что полная работа силы тяжести $A_g$ определяется разностью начальной и конечной высот: $A_g = mg(h_1 - h_2)$.

Решение:

Полная работа силы тяжести на всей траектории равна алгебраической сумме работ на каждом из $N$ прямолинейных участков, составляющих ломаную линию:

$A_g = \sum_{i=1}^{N} A_i$

Работа $A_i$ на отдельном $i$-том участке равна скалярному произведению вектора силы тяжести $\vec{F_g}$ на вектор перемещения $\Delta \vec{l_i}$ этого участка.

Введем вертикальную ось $y$, направленную вверх. Проекция силы тяжести на эту ось постоянна и равна $F_{gy} = -mg$. Работа на $i$-том участке равна произведению проекции силы на проекцию перемещения на ту же ось. Проекция перемещения $\Delta \vec{l_i}$ на ось $y$ равна изменению высоты на этом участке: $\Delta y_i$.

$A_i = F_{gy} \Delta y_i = -mg \Delta y_i$

Обозначим начальную высоту $i$-го участка как $h_{i-1}$, а конечную — $h_i$. Тогда изменение высоты на этом участке $\Delta y_i = h_i - h_{i-1}$. Работа на участке $i$ выразится как:

$A_i = -mg(h_i - h_{i-1}) = mg(h_{i-1} - h_i)$

Теперь просуммируем работы на всех участках от начальной точки 1 (с высотой $h_1$) до конечной точки 2 (с высотой $h_2$). Начальная высота первого участка $h_0 = h_1$, конечная высота последнего участка $h_N = h_2$.

$A_g = \sum_{i=1}^{N} mg(h_{i-1} - h_i) = mg \sum_{i=1}^{N} (h_{i-1} - h_i)$

Раскроем сумму подробно:

$A_g = mg[(h_0 - h_1) + (h_1 - h_2) + (h_2 - h_3) + \dots + (h_{N-1} - h_N)]$

Как видно, все промежуточные высоты ($h_1, h_2, \dots, h_{N-1}$) в этой сумме взаимно уничтожаются:

$A_g = mg(h_0 - \cancel{h_1} + \cancel{h_1} - \cancel{h_2} + \dots + \cancel{h_{N-1}} - h_N) = mg(h_0 - h_N)$

Поскольку $h_0$ — это начальная высота $h_1$, а $h_N$ — конечная высота $h_2$, окончательно получаем:

$A_g = mg(h_1 - h_2)$

Это и есть выражение (4.22), которое показывает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется только разностью высот начальной и конечной точек. Сила тяжести является консервативной силой.

Ответ:

Работа силы тяжести при перемещении тела по ломаной линии была представлена как сумма работ на отдельных прямолинейных участках. В результате суммирования было показано, что итоговая работа зависит только от разности начальной ($h_1$) и конечной ($h_2$) высот: $A_g = mg(h_1 - h_2)$. Это доказывает, что работа силы тяжести и в этом случае определяется выражением (4.22).