Номер 2, страница 142 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 43. Работа силы тяжести и силы упругости. Консервативные силы. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 2, страница 142.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Сила называется консервативной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении тела из одной точки в другую, не зависит от траектории движения, а определяется только начальным и конечным положением тела. Эквивалентное определение: работа консервативной силы на любом замкнутом пути равна нулю. Докажем, что сила всемирного тяготения удовлетворяет этому условию.

Дано:

Сила всемирного тяготения, действующая на тело массы $m$ со стороны тела массы $M$, находящегося в начале координат, выражается формулой:

$ \vec{F} = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r} $

где $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние между телами, а $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от тела $M$ к телу $m$ ($\hat{r} = \vec{r}/r$).

Найти:

Доказать, что сила тяготения $\vec{F}$ является консервативной.

Решение:

Для доказательства рассчитаем работу $A$, совершаемую силой тяготения при перемещении тела массы $m$ из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории. Работа определяется интегралом:

$ A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l} $

где $d\vec{l}$ — вектор элементарного перемещения вдоль траектории.

Вектор силы $\vec{F}$ является центральной силой, то есть он всегда направлен вдоль радиус-вектора $\vec{r}$, соединяющего два тела. Вектор элементарного перемещения $d\vec{l}$ можно разложить на две составляющие: радиальную $d\vec{r}$, направленную вдоль $\vec{r}$, и тангенциальную $d\vec{l}_{\perp}$, перпендикулярную $\vec{r}$.

$ d\vec{l} = d\vec{r} + d\vec{l}_{\perp} $

Так как $d\vec{r}$ параллелен $\vec{r}$ (и, следовательно, $\hat{r}$), а $d\vec{l}_{\perp}$ перпендикулярен $\vec{r}$, то $d\vec{r}$ можно записать как $dr \cdot \hat{r}$, где $dr$ — приращение расстояния $r$.

Найдем скалярное произведение $\vec{F} \cdot d\vec{l}$:

$ \vec{F} \cdot d\vec{l} = \left( -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r} \right) \cdot (d\vec{r} + d\vec{l}_{\perp}) = \left( -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r} \right) \cdot (dr \cdot \hat{r}) + \left( -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r} \right) \cdot d\vec{l}_{\perp} $

Поскольку векторы $\hat{r}$ и $d\vec{l}_{\perp}$ ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение $\hat{r} \cdot \hat{r}$ равно 1. Таким образом, выражение упрощается:

$ \vec{F} \cdot d\vec{l} = -G \frac{Mm}{r^2} dr $

Теперь мы можем вычислить интеграл работы:

$ A_{1 \to 2} = \int_{r_1}^{r_2} -G \frac{Mm}{r^2} dr = -GMm \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2} dr $

где $r_1$ и $r_2$ — расстояния от центра притяжения до начальной и конечной точек соответственно.

Вычисляем интеграл:

$ A_{1 \to 2} = -GMm \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = -GMm \left( -\frac{1}{r_2} - \left(-\frac{1}{r_1}\right) \right) = -GMm \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = GMm \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) $

Полученный результат для работы $A_{1 \to 2}$ зависит только от начального ($r_1$) и конечного ($r_2$) расстояний и не зависит от формы траектории между точками 1 и 2. Это и есть определение консервативной силы.

Для замкнутой траектории начальная и конечная точки совпадают, то есть $r_1 = r_2$. В этом случае работа равна:

$ A_{замкнутая} = GMm \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1} \right) = 0 $

Работа силы тяготения по любому замкнутому пути равна нулю, что также доказывает её консервативность.

Кроме того, для любой консервативной силы можно ввести понятие потенциальной энергии $U$, так что работа силы равна убыли потенциальной энергии: $A_{1 \to 2} = U_1 - U_2$.

Сравнивая это с нашим результатом $A_{1 \to 2} = -G\frac{Mm}{r_1} - \left(-G\frac{Mm}{r_2}\right)$, мы можем определить выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия (с точностью до константы):

$ U(r) = -G \frac{Mm}{r} $

Существование потенциальной энергии, зависящей только от положения тела (в данном случае от расстояния $r$), является еще одним признаком консервативности силы.

Ответ: Сила тяготения является консервативной, так как работа, совершаемая этой силой, не зависит от траектории движения, а определяется только начальным и конечным положением тела. Это было доказано путем прямого вычисления работы, которая оказалась функцией только начального и конечного расстояний между телами: $A_{1 \to 2} = GMm(1/r_2 - 1/r_1)$.