Номер 653, страница 91, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Закон Ома для участка цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 653, страница 91.

Условие.

653. [530] Определите сопротивление квадратной рамки, изготовленной из проволоки, между точками А и С (рис. 147). Сопротивление каждой стороны квадрата равно 1 Ом. Проволоки, из которых сделаны диагонали квадрата, в центре не соединяются.

Рис. 147

Решение.

Дано

Квадратная рамка из проволоки ABCD с диагоналями AC и BD.

Сопротивление каждой стороны квадрата: $R_s = 1$ Ом.

Диагонали в центре не соединяются.

Найти:

Общее сопротивление рамки между точками А и С, $R_{AC\_общ}$.

Решение

Схема представляет собой квадратную рамку из проволоки с вершинами A, B, C, D и диагоналями AC и BD. Сопротивление каждой стороны квадрата (AB, BC, CD, DA) равно $R_s = 1$ Ом.

Поскольку рамка изготовлена из однородной проволоки, сопротивление участка проволоки прямо пропорционально его длине. Если длина стороны квадрата равна $\text{a}$, то длина диагонали равна $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, сопротивление каждой диагонали будет в $\sqrt{2}$ раз больше сопротивления стороны:

$R_{диаг} = R_s \cdot \sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ Ом.

Таким образом, мы имеем электрическую цепь, состоящую из четырех резисторов по сторонам квадрата ($R_{AB} = R_{BC} = R_{CD} = R_{DA} = 1$ Ом) и двух резисторов по диагоналям ($R_{AC} = R_{BD} = \sqrt{2}$ Ом).

Точки A и C являются клеммами, к которым подключается источник тока. Рассмотрим симметрию цепи относительно диагонали AC. Пути тока A-B-C и A-D-C абсолютно симметричны, так как $R_{AB} = R_{AD} = 1$ Ом и $R_{BC} = R_{DC} = 1$ Ом. Из-за этой симметрии электрические потенциалы в точках B и D будут одинаковы: $\phi_B = \phi_D$.

Поскольку между точками B и D нет разности потенциалов, ток через диагональ BD протекать не будет ($I_{BD} = 0$). Это означает, что для расчета общего сопротивления между точками A и C мы можем мысленно удалить из схемы резистор $R_{BD}$.

После удаления диагонали BD схема упрощается до трех параллельно соединенных ветвей между точками A и C.
Первая ветвь: последовательно соединенные резисторы $R_{AB}$ и $R_{BC}$. Ее сопротивление $R_1 = R_{AB} + R_{BC} = 1 + 1 = 2$ Ом.
Вторая ветвь: последовательно соединенные резисторы $R_{AD}$ и $R_{DC}$. Ее сопротивление $R_2 = R_{AD} + R_{DC} = 1 + 1 = 2$ Ом.
Третья ветвь: резистор на диагонали AC. Его сопротивление $R_3 = R_{AC} = \sqrt{2}$ Ом.

Общее сопротивление $R_{AC\_общ}$ для параллельного соединения находится по формуле:

$\frac{1}{R_{AC\_общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Подставим значения сопротивлений:

$\frac{1}{R_{AC\_общ}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Выразим $R_{AC\_общ}$:

$R_{AC\_общ} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$R_{AC\_общ} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 - \sqrt{2}$ Ом.

Ответ: Сопротивление рамки между точками А и С равно $(2 - \sqrt{2})$ Ом.