Номер 652, страница 91, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Закон Ома для участка цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 652, страница 91.

Условие.

652. [529] Определите сопротивление между точками $\text{A}$ и $\text{B}$ медной проволоки, согнутой в виде кольца, в двух случаях:

1) Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ соединены проводником, длина которого равна диаметру кольца (рис. 146, а);

2) Этим же проводником соединены точки $\text{C}$ и $\text{D}$ (рис. 146, б). Площадь поперечного сечения проволоки $1 \text{ мм}^2$, диаметр кольца $20 \text{ см}$.

Рис. 146

Решение.

Дано:

Материал проволоки - медь ($\rho$)
Площадь поперечного сечения $S = 1 \text{ мм}^2$
Диаметр кольца $d = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$
$d = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
Удельное сопротивление меди $\rh°= 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$R_{AB1}$ - сопротивление в первом случае (рис. а)
$R_{AB2}$ - сопротивление во втором случае (рис. б)

Решение:

1) В первом случае (рис. 146, а) точки А и В соединены проводником, равным диаметру. Электрическая схема представляет собой три параллельно соединенных проводника: верхняя половина кольца, нижняя половина кольца и прямой проводник (диаметр).

Найдем сопротивление каждого участка. Формула сопротивления: $R = \rh°\frac{l}{S}$.

Длина каждой половины кольца (полуокружности) равна $l_1 = \frac{\pi d}{2}$. Сопротивление каждой половины кольца: $R_1 = R_2 = \rh°\frac{l_1}{S} = \frac{\rh°\pi d}{2S}$

Длина прямого проводника равна диаметру $l_3 = d$. Его сопротивление: $R_3 = \rh°\frac{l_3}{S} = \frac{\rh°d}{S}$

Общее сопротивление $R_{AB1}$ для параллельного соединения находится по формуле: $\frac{1}{R_{AB1}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{2}{R_1} + \frac{1}{R_3}$ Подставим выражения для сопротивлений: $\frac{1}{R_{AB1}} = 2 \cdot \frac{2S}{\rh°\pi d} + \frac{S}{\rh°d} = \frac{4S}{\rh°\pi d} + \frac{S}{\rh°d} = \frac{S}{\rh°d} \left( \frac{4}{\pi} + 1 \right) = \frac{S}{\rh°d} \left( \frac{4+\pi}{\pi} \right)$

Тогда общее сопротивление равно: $R_{AB1} = \frac{\rh°d}{S} \frac{\pi}{4+\pi}$

Подставим числовые значения: $R_{AB1} = \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0.2 \text{ м}}{10^{-6} \text{ м}^2} \cdot \frac{3.14}{4+3.14} = 3.4 \cdot 10^{-3} \text{ Ом} \cdot \frac{3.14}{7.14} \approx 1.49 \cdot 10^{-3} \text{ Ом} \approx 1.5 \text{ мОм}$

Ответ: $R_{AB1} \approx 1.5 \text{ мОм}$.

2) Во втором случае (рис. 146, б) проводником соединены точки C и D. Ток течет от А к В. Схема представляет собой две параллельные группы, соединенные последовательно. Точки C и D из-за соединяющего их проводника имеют одинаковый потенциал.

Первая группа состоит из двух параллельно соединенных четвертей кольца (участки AC и AD). Вторая группа состоит из двух других параллельно соединенных четвертей кольца (участки CB и DB).

Длина каждой четверти кольца равна $l_ч = \frac{\pi d}{4}$. Сопротивление каждой четверти кольца: $R_ч = \rh°\frac{l_ч}{S} = \frac{\rh°\pi d}{4S}$

Сопротивление первой параллельной группы (участки AC и AD): $R_{ACD} = \frac{R_ч \cdot R_ч}{R_ч + R_ч} = \frac{R_ч}{2}$

Сопротивление второй параллельной группы (участки CB и DB) также равно: $R_{CDB} = \frac{R_ч}{2}$

Общее сопротивление $R_{AB2}$ равно сумме сопротивлений этих двух групп, так как они соединены последовательно: $R_{AB2} = R_{ACD} + R_{CDB} = \frac{R_ч}{2} + \frac{R_ч}{2} = R_ч = \frac{\rh°\pi d}{4S}$

Подставим числовые значения: $R_{AB2} = \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 3.14 \cdot 0.2 \text{ м}}{4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{10.676 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} \approx 2.67 \cdot 10^{-3} \text{ Ом} \approx 2.7 \text{ мОм}$

Ответ: $R_{AB2} \approx 2.7 \text{ мОм}$.