Номер 990, страница 135, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Атомная физика. Строение атома. Модель атома водорода - номер 990, страница 135.

Условие.

990. [833] Вычислите отношение гравитационной и электростатической сил, действующих на электрон в атоме водорода.

Решение.

Дано:

Атом водорода, состоящий из протона (ядро) и электрона.
Масса протона, $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг
Масса электрона, $m_e \approx 9.109 \times 10^{-31}$ кг
Заряд протона, $q_p = e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл
Заряд электрона, $q_e = -e \approx -1.602 \times 10^{-19}$ Кл
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²
Коэффициент в законе Кулона, $k \approx 8.987 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Отношение гравитационной силы $F_g$ к электростатической силе $F_e$, то есть $\frac{F_g}{F_e}$.

Решение:

В атоме водорода на электрон со стороны ядра (протона) действуют две центральные силы притяжения: гравитационная и электростатическая (кулоновская).

1. Гравитационная сила, действующая между протоном и электроном, определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F_g = G \frac{m_p m_e}{r^2}$

где $\text{r}$ — расстояние между протоном и электроном.

2. Электростатическая сила, действующая между протоном и электроном, определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{|q_p q_e|}{r^2} = k \frac{e \cdot e}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$

где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, а $\text{e}$ — модуль элементарного заряда.

3. Найдем отношение этих двух сил, разделив выражение для гравитационной силы на выражение для электростатической силы:

$\frac{F_g}{F_e} = \frac{G \frac{m_p m_e}{r^2}}{k \frac{e^2}{r^2}}$

Как видно из формулы, расстояние $\text{r}$ между частицами сокращается. Это означает, что искомое отношение не зависит от расстояния между электроном и протоном.

$\frac{F_g}{F_e} = \frac{G m_p m_e}{k e^2}$

4. Подставим числовые значения физических констант в полученное выражение:

$\frac{F_g}{F_e} = \frac{(6.674 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²}) \cdot (1.672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг})}{(8.987 \cdot 10^9 \text{ Н·м²/Кл²}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}$

Выполним вычисления:

$\frac{F_g}{F_e} = \frac{6.674 \cdot 1.672 \cdot 9.109}{8.987 \cdot (1.602)^2} \cdot \frac{10^{-11} \cdot 10^{-27} \cdot 10^{-31}}{10^9 \cdot (10^{-19})^2}$

$\frac{F_g}{F_e} \approx \frac{101.59}{8.987 \cdot 2.566} \cdot \frac{10^{-69}}{10^9 \cdot 10^{-38}} \approx \frac{101.59}{23.06} \cdot \frac{10^{-69}}{10^{-29}}$

$\frac{F_g}{F_e} \approx 4.405 \cdot 10^{-69 - (-29)} = 4.405 \cdot 10^{-40}$

Этот результат показывает, что гравитационное взаимодействие между электроном и протоном в атоме водорода пренебрежимо мало по сравнению с электростатическим взаимодействием. Электростатические силы примерно в $10^{39}$ раз сильнее гравитационных на атомном уровне.

Ответ: Отношение гравитационной и электростатической сил, действующих на электрон в атоме водорода, составляет примерно $4.4 \times 10^{-40}$.