Номер 991, страница 135, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Атомная физика. Строение атома. Модель атома водорода - номер 991, страница 135.

Условие.

991. [834] Какую минимальную ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы, передав энергию атому водорода, перевести его из второго стационарного состояния в третье?

Решение.

Дано:

Атом водорода

Начальное стационарное состояние, $n_1 = 2$

Конечное стационарное состояние, $n_2 = 3$

Энергия ионизации атома водорода, $E_0 = 13.6 \text{ эВ}$

Элементарный заряд, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:

$E_0 = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 2.176 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

$U_{min}$ — минимальная ускоряющая разность потенциалов.

Решение:

Для того чтобы электрон мог перевести атом водорода из второго стационарного состояния в третье, его кинетическая энергия $E_k$ должна быть не меньше энергии возбуждения атома $\Delta E$. Минимальная кинетическая энергия электрона, следовательно, равна этой энергии возбуждения:

$E_{k, min} = \Delta E = E_3 - E_2$

Кинетическая энергия, которую электрон приобретает, пройдя ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$, равна работе электрического поля:

$E_k = eU$

Следовательно, минимальная ускоряющая разность потенциалов $U_{min}$ связана с энергией возбуждения соотношением:

$eU_{min} = \Delta E$

Отсюда $U_{min} = \frac{\Delta E}{e}$

Энергия электрона на $\text{n}$-ом стационарном уровне в атоме водорода описывается формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

где $E_0 \approx 13.6 \text{ эВ}$ — энергия ионизации атома водорода.

Найдем энергию $\Delta E$, необходимую для перехода атома со второго ($n_1=2$) на третий ($n_2=3$) энергетический уровень:

$\Delta E = E_3 - E_2 = \left(-\frac{E_0}{3^2}\right) - \left(-\frac{E_0}{2^2}\right) = E_0\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = E_0\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right)$

$\Delta E = E_0\left(\frac{9 - 4}{36}\right) = \frac{5}{36}E_0$

Подставим числовое значение $E_0$ в электрон-вольтах:

$\Delta E = \frac{5}{36} \times 13.6 \text{ эВ} \approx 1.889 \text{ эВ}$

Теперь найдем минимальную ускоряющую разность потенциалов. Если энергия выражена в электрон-вольтах, то разность потенциалов в вольтах будет численно равна этой энергии.

$U_{min} = \frac{1.889 \text{ эВ}}{e} \approx 1.89 \text{ В}$

Проверим расчет в системе СИ:

$\Delta E = \frac{5}{36} \times 2.176 \times 10^{-18} \text{ Дж} \approx 0.3022 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

$U_{min} = \frac{\Delta E}{e} = \frac{0.3022 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 1.89 \text{ В}$

Ответ: $1.89 \text{ В}$.