Номер 5, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Боковые грани $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AC = 20$ см, $BC = 16$ см, а расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно 13 см.

Поскольку боковые грани $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, их линия пересечения, ребро $MA$, перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $MA$ является высотой пирамиды. Из этого следует, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ — прямоугольные с прямыми углами при вершине $A$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как сумма площадей трёх её боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC}$.

Нахождение необходимых для расчёта длин рёбер

1. В основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$) с гипотенузой $AC = 20$ см и катетом $BC = 16$ см. По теореме Пифагора найдём катет $AB$:

$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно 13 см. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $BC$. Пусть $MK \perp BC$, где $K$ лежит на прямой $BC$, тогда $MK=13$ см. Поскольку $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $MK$ — наклонная к этой плоскости, то $AK$ — её проекция. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $MK \perp BC$, то и её проекция $AK \perp BC$. В треугольнике $ABC$ отрезком, проведённым из $A$ перпендикулярно к $BC$, является катет $AB$ (так как $\angle ABC = 90^\circ$). Следовательно, точка $K$ совпадает с точкой $B$, и расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ — это длина отрезка $MB$. Таким образом, $MB = 13$ см.

3. Теперь мы можем найти высоту пирамиды $MA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAB$ ($\angle MAB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MA = \sqrt{MB^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: Длины рёбер, необходимые для расчёта: $AB = 12$ см, $MA = 5$ см, $MB = 13$ см.

Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, зная все необходимые длины, вычислим площади боковых граней.

1. Площадь грани $MAB$. Это прямоугольный треугольник с катетами $MA=5$ см и $AB=12$ см.

$S_{\triangle MAB} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

2. Площадь грани $MAC$. Это прямоугольный треугольник с катетами $MA=5$ см и $AC=20$ см.

$S_{\triangle MAC} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20 = 50$ см$^2$.

3. Площадь грани $MBC$. Докажем, что $\triangle MBC$ — прямоугольный. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA \perp BC$. По условию, $AB \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($MA$ и $AB$) плоскости $(MAB)$, она перпендикулярна этой плоскости. Значит, $BC \perp MB$. Следовательно, $\triangle MBC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Его катеты $BC=16$ см и $MB=13$ см.

$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 13 = 104$ см$^2$.

4. Найдём общую площадь боковой поверхности, сложив площади граней:

$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC} = 30 + 50 + 104 = 184$ см$^2$.

Ответ: $184$ см$^2$.