Номер 2, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Точка $B$ находится на расстоянии $2 \text{ см}$ от плоскости $\alpha$. Наклонные $BC$ и $BD$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы $45^{\circ}$ и $30^{\circ}$ соответственно. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если угол между проекциями наклонных на плоскость $\alpha$ равен $150^{\circ}$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина этого перпендикуляра $BH$ равна расстоянию от точки $B$ до плоскости $\alpha$, то есть $BH = 2$ см.

Отрезки $HC$ и $HD$ являются проекциями наклонных $BC$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle BHD$ являются прямоугольными, так как $BH \perp \alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle BCH = 45^{\circ}$ и $\angle BDH = 30^{\circ}$. Угол между проекциями наклонных равен $\angle CHD = 150^{\circ}$.

1. Найдем длину проекции HC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$. Катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCH$. Длину проекции $HC$ (прилежащий катет) можно найти через тангенс или котангенс угла: $HC = \frac{BH}{\tan(\angle BCH)} = \frac{2}{\tan(45^{\circ})}$ Поскольку $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $HC = \frac{2}{1} = 2$ см.

2. Найдем длину проекции HD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$. Катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BDH$. Длину проекции $HD$ (прилежащий катет) можно найти аналогично: $HD = \frac{BH}{\tan(\angle BDH)} = \frac{2}{\tan(30^{\circ})}$ Поскольку $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $HD = \frac{2}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем расстояние между точками C и D.
Точки $C$, $H$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$. Расстояние между $C$ и $D$ — это длина стороны $CD$ в треугольнике $\triangle CHD$. Мы знаем длины двух сторон ($HC = 2$ см, $HD = 2\sqrt{3}$ см) и угол между ними ($\angle CHD = 150^{\circ}$). Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle CHD$: $CD^2 = HC^2 + HD^2 - 2 \cdot HC \cdot HD \cdot \cos(\angle CHD)$ Подставим известные значения: $CD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$ Значение косинуса $150^{\circ}$ равно: $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $CD^2 = 4 + (4 \cdot 3) - 8\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $CD^2 = 4 + 12 + \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$ $CD^2 = 16 + \frac{8 \cdot 3}{2}$ $CD^2 = 16 + \frac{24}{2}$ $CD^2 = 16 + 12$ $CD^2 = 28$ Теперь найдем длину $CD$: $CD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.