Номер 2, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — $\sqrt{34}$ см. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

1) высоту пирамиды;
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона основания $a = 6$ см, а боковое ребро $l = \sqrt{34}$ см. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания — точку пересечения диагоналей квадрата. Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой. Сначала найдём длину диагонали основания $d$. Для квадрата со стороной $a$: $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см. Половина диагонали равна: $R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Теперь, используя теорему Пифагора ($H^2 + R^2 = l^2$), найдём высоту $H$: $H^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{34})^2$ $H^2 + 9 \cdot 2 = 34$ $H^2 + 18 = 34$ $H^2 = 34 - 18$ $H^2 = 16$ $H = \sqrt{16} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Площадь одной такой грани равна половине произведения её основания (стороны квадрата $a$) на её высоту, которая называется апофемой пирамиды ($h_s$). $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} a \cdot h_s) = 2 \cdot a \cdot h_s$. Чтобы найти апофему $h_s$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ (гипотенуза) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (его длина равна $a/2$). Из пункта 1 мы знаем, что $H = 4$ см. Половина стороны основания равна $a/2 = 6/2 = 3$ см. По теореме Пифагора ($h_s^2 = H^2 + (a/2)^2$): $h_s^2 = 4^2 + 3^2$ $h_s^2 = 16 + 9 = 25$ $h_s = \sqrt{25} = 5$ см. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot a \cdot h_s = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ см².
Ответ: 60 см².