Номер 4, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Прямая $c$ — линия их пересечения. В плоскости $\alpha$ выбрали точку $M$, а в плоскости $\beta$ — точку $N$ такие, что расстояния от них до прямой $c$ равны 6 см и 7 см соответственно. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$, если расстояние между точками $M$ и $N$ равно $\sqrt{110}$ см.

4.

Пусть $P_M$ и $P_N$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$ соответственно. Согласно условию задачи:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны: $\alpha \perp \beta$.
• Прямая $c$ — линия их пересечения: $c = \alpha \cap \beta$.
• Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), а точка $N$ — плоскости $\beta$ ($N \in \beta$).
• Расстояние от точки $M$ до прямой $c$ — это длина отрезка $MP_M$. Следовательно, $MP_M = 6$ см и $MP_M \perp c$.
• Расстояние от точки $N$ до прямой $c$ — это длина отрезка $NP_N$. Следовательно, $NP_N = 7$ см и $NP_N \perp c$.
• Расстояние между точками $M$ и $N$ равно $MN = \sqrt{110}$ см.

Необходимо найти расстояние между основаниями перпендикуляров, то есть длину отрезка $P_M P_N$.

Рассмотрим пространственную фигуру. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а прямая $NP_N$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна их линии пересечения $c$, то по свойству перпендикулярных плоскостей прямая $NP_N$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($NP_N \perp \alpha$).

Поскольку прямая $NP_N$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $P_N$. Отрезок $MP_N$ соединяет точку $M \in \alpha$ и точку $P_N \in c \subset \alpha$, следовательно, отрезок $MP_N$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $NP_N \perp MP_N$.

Из этого следует, что треугольник $\triangle MNP_N$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_N$ ($\angle MP_NN = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора: $MN^2 = MP_N^2 + NP_N^2$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MP_MP_N$. Этот треугольник лежит в плоскости $\alpha$. По определению, $P_M$ — основание перпендикуляра из $M$ на прямую $c$, значит $MP_M \perp c$. Так как точки $P_M$ и $P_N$ лежат на прямой $c$, то отрезок $P_MP_N$ является частью прямой $c$, следовательно $MP_M \perp P_MP_N$.

Значит, треугольник $\triangle MP_MP_N$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_M$ ($\angle MP_MP_N = 90^\circ$). По теореме Пифагора для этого треугольника: $MP_N^2 = MP_M^2 + P_M P_N^2$

Подставим выражение для $MP_N^2$ из второго уравнения в первое: $MN^2 = (MP_M^2 + P_M P_N^2) + NP_N^2$

Мы получили соотношение, связывающее все известные величины и искомую. Подставим числовые значения. Пусть искомое расстояние $P_M P_N = x$. $(\sqrt{110})^2 = 6^2 + x^2 + 7^2$ $110 = 36 + x^2 + 49$ $110 = 85 + x^2$ $x^2 = 110 - 85$ $x^2 = 25$ $x = 5$ (поскольку расстояние является положительной величиной).

Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$, равно 5 см.

Ответ: 5 см.