Страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости

1. Из точки $M$ проведены к плоскости $\beta$ наклонные $MA$ и $MB$, образующие с ней углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\beta$, если $AM = 8\sqrt{3}$ см.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\beta$. Тогда отрезок $MH$ является общим перпендикуляром для двух наклонных, а отрезки $HA$ и $HB$ — проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\beta$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, по условию задачи:
$\angle MAH = 60^\circ$ — угол между наклонной $MA$ и плоскостью $\beta$.
$\angle MBH = 45^\circ$ — угол между наклонной $MB$ и плоскостью $\beta$.

Так как $MH \perp \beta$, то треугольники $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Нам известна длина гипотенузы $AM = 8\sqrt{3}$ см и угол $\angle MAH = 60^\circ$. Найдем длину катета $MH$, который является расстоянием от точки $M$ до плоскости $\beta$.
Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle MAH) = \frac{MH}{AM}$
Отсюда:
$MH = AM \cdot \sin(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. Нам известна длина катета $MH = 12$ см и угол $\angle MBH = 45^\circ$. Требуется найти длину катета $HB$, который является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $\beta$.
Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\angle MBH) = \frac{MH}{HB}$
Отсюда:
$HB = \frac{MH}{\tan(\angle MBH)} = \frac{12}{\tan(45^\circ)}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$HB = \frac{12}{1} = 12$ см.

Также можно заметить, что так как в прямоугольном треугольнике $\triangle MHB$ один из острых углов равен $45^\circ$ ($\angle MBH = 45^\circ$), то и второй острый угол $\angle BMH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle MHB$ является равнобедренным, и его катеты равны: $HB = MH = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2. Точка C принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от его ребра на 14 см. Найдите расстояние от точки C до другой грани двугранного угла, если величина этого угла равна 30°.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $a$.

По условию, точка $C$ принадлежит одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$. Расстояние от точки $C$ до ребра $a$ равно 14 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем перпендикуляр $CA$ из точки $C$ на ребро $a$ (точка $A$ лежит на ребре $a$). Таким образом, по определению, $CA \perp a$ и длина отрезка $CA = 14$ см.

Требуется найти расстояние от точки $C$ до другой грани, то есть до плоскости $\beta$. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $CB$ из точки $C$ на плоскость $\beta$ (точка $B$ лежит в плоскости $\beta$). Искомое расстояние — это длина отрезка $CB$.

Рассмотрим отрезки $CA$, $CB$ и $AB$. Отрезок $CA$ является наклонной к плоскости $\beta$, $CB$ — перпендикуляром к плоскости $\beta$, а $AB$ — проекцией наклонной $CA$ на плоскость $\beta$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($CA$) перпендикулярна прямой ($a$), лежащей в плоскости проекции ($\beta$), то и ее проекция ($AB$) перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $CA \perp a$, то и $AB \perp a$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре. В нашей конструкции отрезки $CA$ (в грани $\alpha$) и $AB$ (в грани $\beta$) оба перпендикулярны ребру $a$ в точке $A$. Следовательно, угол $\angle CAB$ и есть линейный угол данного двугранного угла. По условию, его величина равна $30^\circ$, то есть $\angle CAB = 30^\circ$.

По построению $CB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $B$ (основание перпендикуляра), значит, $CB \perp AB$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBA = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны: гипотенуза $AC = 14$ см и острый угол $\angle CAB = 30^\circ$. Искомый отрезок $CB$ является катетом, противолежащим этому углу.

Для нахождения катета воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle CAB) = \frac{CB}{AC}$
Выразим из формулы искомый катет $CB$:
$CB = AC \cdot \sin(\angle CAB)$
Подставим числовые значения:
$CB = 14 \cdot \sin(30^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Следовательно, расстояние от точки $C$ до другой грани двугранного угла составляет 7 см.

Ответ: 7 см.

3. Угол между плоскостями треугольников $DCF$ и $DEF$ равен $45^\circ$, $DE = EF = 9\sqrt{2}$ см, $DC = CF = 15$ см, $DF = 24$ см. Найдите отрезок $CE$.

Плоскости треугольников $DCF$ и $DEF$ пересекаются по прямой $DF$. Угол между этими плоскостями — это двугранный угол, образованный полуплоскостями, в которых лежат эти треугольники.

1. Рассмотрим $\triangle DCF$. По условию $DC = CF = 15$ см, следовательно, треугольник является равнобедренным с основанием $DF = 24$ см. Проведем высоту $CH$ к основанию $DF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, точка $H$ — это середина отрезка $DF$.

$DH = HF = \frac{DF}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Из прямоугольного треугольника $DCH$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $CH$:

$CH^2 = DC^2 - DH^2$

$CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$CH = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Рассмотрим $\triangle DEF$. По условию $DE = EF = 9\sqrt{2}$ см, следовательно, этот треугольник также является равнобедренным с основанием $DF = 24$ см. Проведем высоту $EH$ к основанию $DF$. Так как треугольник равнобедренный, высота $EH$ является и медианой, поэтому она также проведена к середине основания $DF$, то есть к той же точке $H$.

Из прямоугольного треугольника $DEH$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $EH$:

$EH^2 = DE^2 - DH^2$

$EH^2 = (9\sqrt{2})^2 - 12^2 = 81 \cdot 2 - 144 = 162 - 144 = 18$

$EH = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. По определению, линейным углом двугранного угла является угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки. В нашем случае, $CH \perp DF$ и $EH \perp DF$. Следовательно, $\angle CHE$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(DCF)$ и $(DEF)$. По условию, $\angle CHE = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $CHE$. Мы знаем длины двух его сторон ($CH=9$ см и $EH=3\sqrt{2}$ см) и угол между ними ($\angle CHE = 45^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CE$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CE^2 = CH^2 + EH^2 - 2 \cdot CH \cdot EH \cdot \cos(\angle CHE)$

Подставим известные значения:

$CE^2 = 9^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$CE^2 = 81 + 18 - 54\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CE^2 = 99 - \frac{54 \cdot 2}{2}$

$CE^2 = 99 - 54$

$CE^2 = 45$

$CE = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Прямая $c$ — линия их пересечения. В плоскости $\alpha$ выбрали точку $M$, а в плоскости $\beta$ — точку $N$ такие, что расстояния от них до прямой $c$ равны 6 см и 7 см соответственно. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$, если расстояние между точками $M$ и $N$ равно $\sqrt{110}$ см.

4.

Пусть $P_M$ и $P_N$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$ соответственно. Согласно условию задачи:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны: $\alpha \perp \beta$.
• Прямая $c$ — линия их пересечения: $c = \alpha \cap \beta$.
• Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), а точка $N$ — плоскости $\beta$ ($N \in \beta$).
• Расстояние от точки $M$ до прямой $c$ — это длина отрезка $MP_M$. Следовательно, $MP_M = 6$ см и $MP_M \perp c$.
• Расстояние от точки $N$ до прямой $c$ — это длина отрезка $NP_N$. Следовательно, $NP_N = 7$ см и $NP_N \perp c$.
• Расстояние между точками $M$ и $N$ равно $MN = \sqrt{110}$ см.

Необходимо найти расстояние между основаниями перпендикуляров, то есть длину отрезка $P_M P_N$.

Рассмотрим пространственную фигуру. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а прямая $NP_N$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна их линии пересечения $c$, то по свойству перпендикулярных плоскостей прямая $NP_N$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($NP_N \perp \alpha$).

Поскольку прямая $NP_N$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $P_N$. Отрезок $MP_N$ соединяет точку $M \in \alpha$ и точку $P_N \in c \subset \alpha$, следовательно, отрезок $MP_N$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $NP_N \perp MP_N$.

Из этого следует, что треугольник $\triangle MNP_N$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_N$ ($\angle MP_NN = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора: $MN^2 = MP_N^2 + NP_N^2$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MP_MP_N$. Этот треугольник лежит в плоскости $\alpha$. По определению, $P_M$ — основание перпендикуляра из $M$ на прямую $c$, значит $MP_M \perp c$. Так как точки $P_M$ и $P_N$ лежат на прямой $c$, то отрезок $P_MP_N$ является частью прямой $c$, следовательно $MP_M \perp P_MP_N$.

Значит, треугольник $\triangle MP_MP_N$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_M$ ($\angle MP_MP_N = 90^\circ$). По теореме Пифагора для этого треугольника: $MP_N^2 = MP_M^2 + P_M P_N^2$

Подставим выражение для $MP_N^2$ из второго уравнения в первое: $MN^2 = (MP_M^2 + P_M P_N^2) + NP_N^2$

Мы получили соотношение, связывающее все известные величины и искомую. Подставим числовые значения. Пусть искомое расстояние $P_M P_N = x$. $(\sqrt{110})^2 = 6^2 + x^2 + 7^2$ $110 = 36 + x^2 + 49$ $110 = 85 + x^2$ $x^2 = 110 - 85$ $x^2 = 25$ $x = 5$ (поскольку расстояние является положительной величиной).

Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из точек $M$ и $N$ к прямой $c$, равно 5 см.

Ответ: 5 см.

5. Через вершину $A$ квадрата $ABCD$ провели перпендикуляр $MA$ к плоскости квадрата. Угол между плоскостями $ABC$ и $BMC$ равен $30^\circ$. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью квадрата.

Поскольку по условию прямая $MA$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными.

Угол между плоскостями $ABC$ и $BMC$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $BC$. Величиной двугранного угла является его линейный угол, то есть угол между двумя перпендикулярами к линии пересечения, проведенными в одной точке.

В плоскости квадрата $ABC$ сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$), так как все углы квадрата прямые.

Прямая $MA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $MB$ — наклонная, а $AB$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$. Поскольку проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MB$ перпендикулярна прямой $BC$ ($MB \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle MBA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BMC$. По условию задачи, этот угол равен $30^\circ$, следовательно, $\angle MBA = 30^\circ$.

Угол между прямой $MC$ и плоскостью квадрата $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на эту плоскость. Следовательно, искомый угол — это $\angle MCA$.

Для нахождения этого угла введем обозначение: пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = a$ и $BC = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ (с прямым углом $\angle MAB$). В нем известны сторона $AB=a$ и угол $\angle MBA = 30^\circ$. Найдем катет $MA$:
$\tan(\angle MBA) = \frac{MA}{AB}$
$MA = AB \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем длину диагонали квадрата $AC$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAC$ (с прямым углом $\angle MAC$). Мы нашли длины его катетов $MA$ и $AC$. Найдем тангенс искомого угла $\angle MCA$:
$\tan(\angle MCA) = \frac{MA}{AC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Следовательно, искомый угол $\angle MCA$ равен $\arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.