Страница 96 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости

1. Из точки $A$ проведены к плоскости $\alpha$ наклонные $AE$ и $AF$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $AF$ на плоскость $\alpha$, если проекция наклонной $AE$ на эту плоскость равна $6\text{ см}$.

1.

Пусть из точки А на плоскость $\alpha$ опущен перпендикуляр АН. Тогда, по определению, НЕ является проекцией наклонной АЕ на плоскость $\alpha$, а НF является проекцией наклонной AF на плоскость $\alpha$. Длина отрезка АН — это расстояние от точки А до плоскости $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. Таким образом, по условию задачи, $\angle AEH = 30^\circ$ и $\angle AFH = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHE$ ( $\angle AHE = 90^\circ$ ). В нем известен катет $HE = 6$ см (проекция АЕ) и прилежащий к нему острый угол $\angle AEH = 30^\circ$. Найдем длину катета АН, который является общим для обоих рассматриваемых треугольников. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle AEH) = \frac{AH}{HE}$

Отсюда находим длину перпендикуляра АН:

$AH = HE \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHF$ ( $\angle AHF = 90^\circ$ ). В нем известен катет $AH = 2\sqrt{3}$ см и острый угол $\angle AFH = 60^\circ$. Найдем длину катета HF, который является искомой проекцией наклонной AF. Аналогично, из определения тангенса:

$\tan(\angle AFH) = \frac{AH}{HF}$

Отсюда выражаем длину проекции HF:

$HF = \frac{AH}{\tan(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

2. Точка $B$ принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на $4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $60^{\circ}$.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла).

Согласно условию, точка $B$ принадлежит одной из граней. Пусть точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$). Расстояние от точки $B$ до другой грани $\beta$ составляет $4\sqrt{3}$ см. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, $H \in \beta$, отрезок $BH \perp \beta$ и его длина $BH = 4\sqrt{3}$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до ребра $a$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $B$ к прямой $a$. Проведем такой перпендикуляр $BC$, где $C$ — точка на ребре $a$. Следовательно, $BC \perp a$, и нам нужно найти длину отрезка $BC$.

Рассмотрим отрезки $BC$, $BH$ и $HC$. Отрезок $BH$ — это перпендикуляр к плоскости $\beta$. Отрезок $BC$ — наклонная к плоскости $\beta$. Отрезок $HC$ — это проекция наклонной $BC$ на плоскость $\beta$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BC$) перпендикулярна некоторой прямой ($a$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HC$) также перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $BC \perp a$, то из теоремы следует, что $HC \perp a$.

Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в разных гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $BC \perp a$ и $HC \perp a$, причем $BC \in \alpha$ и $HC \in \beta$. Следовательно, угол $\angle BCH$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, его величина равна $60^\circ$, то есть $\angle BCH = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCH$. Поскольку $BH$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а отрезок $HC$ лежит в этой плоскости, то $BH \perp HC$. Это означает, что $\triangle BCH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $H$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известен катет $BH = 4\sqrt{3}$ см, который является противолежащим углу $\angle BCH = 60^\circ$. Искомое расстояние $BC$ является гипотенузой этого треугольника.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, имеем: $ \sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} $

Подставим известные значения: $ \sin(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{BC} $

Зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем уравнение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{BC} $

Выразим из этого уравнения $BC$: $ BC = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8 $ см.

Ответ: 8 см.

3. Угол между плоскостями треугольников $ABM$ и $ABK$ равен $30^\circ$, $AM = BM = 20$ см, $AK = BK = 2\sqrt{67}$ см, $AB = 32$ см. Найдите отрезок $MK$.

Поскольку треугольники $ABM$ и $ABK$ являются равнобедренными с общим основанием $AB$, их высоты, проведенные из вершин $M$ и $K$ к основанию $AB$, пересекают $AB$ в одной и той же точке — его середине. Обозначим эту точку как $H$.

Таким образом, $MH$ является высотой в треугольнике $ABM$, а $KH$ — высотой в треугольнике $ABK$. Точка $H$ — середина $AB$, поэтому $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$. По теореме Пифагора найдем длину катета $MH$:
$MH^2 = AM^2 - AH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKH$. По теореме Пифагора найдем длину катета $KH$:
$KH^2 = AK^2 - AH^2 = (2\sqrt{67})^2 - 16^2 = 4 \cdot 67 - 256 = 268 - 256 = 12$
$KH = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $(ABM)$ и $(ABK)$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Так как отрезки $MH$ и $KH$ перпендикулярны ребру $AB$ и лежат в соответствующих плоскостях, угол между ними, $\angle MHK$, является линейным углом данного двугранного угла. По условию, $\angle MHK = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти длину отрезка $MK$, рассмотрев треугольник $MHK$. Применим к нему теорему косинусов:
$MK^2 = MH^2 + KH^2 - 2 \cdot MH \cdot KH \cdot \cos(\angle MHK)$
Подставим известные значения:
$MK^2 = 12^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
$MK^2 = 144 + 12 - 48\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$MK^2 = 156 - 24 \cdot 3$
$MK^2 = 156 - 72$
$MK^2 = 84$
$MK = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Прямая $a$ — линия их пересечения. В плоскости $\alpha$ выбрали точку $A$, а в плоскости $\beta$ — точку $B$ такие, что расстояния от них до прямой $a$ равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, если расстояние между их проекциями на прямую $a$ равно $2\sqrt{2}$ см.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — данные плоскости, а прямая $a$ — линия их пересечения. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$.

Обозначим проекцию точки $A$ на прямую $a$ как $A_p$, а проекцию точки $B$ на прямую $a$ как $B_p$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Таким образом, отрезок $AA_p$ перпендикулярен прямой $a$, и его длина по условию равна 4 см. Аналогично, отрезок $BB_p$ перпендикулярен прямой $a$, и его длина равна 5 см.

$AA_p \perp a$, $AA_p = 4$ см.
$BB_p \perp a$, $BB_p = 5$ см.

Расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на прямую $a$ — это длина отрезка $A_pB_p$. По условию, $A_pB_p = 2\sqrt{2}$ см.

Для нахождения расстояния между точками $A$ и $B$ (длины отрезка $AB$) воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве. Расстояние $AB$ можно рассматривать как пространственную диагональ прямоугольного параллелепипеда. Измерениями этого параллелепипеда будут служить проекции отрезка $AB$ на три взаимно перпендикулярные оси.

Выберем эти оси следующим образом:
1. Первая ось совпадает с прямой $a$.
2. Вторая ось лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна прямой $a$. Прямая $AA_p$ параллельна этой оси.
3. Третья ось лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна прямой $a$. Прямая $BB_p$ параллельна этой оси.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а вторая и третья оси лежат в этих плоскостях и обе перпендикулярны линии их пересечения (прямой $a$), то эти три оси взаимно перпендикулярны.

Длины проекций отрезка $AB$ на эти оси равны:
- на прямую $a$: $A_pB_p = 2\sqrt{2}$ см;
- на ось в плоскости $\alpha$: $AA_p = 4$ см;
- на ось в плоскости $\beta$: $BB_p = 5$ см.

Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ равен сумме квадратов длин этих трёх проекций:
$AB^2 = (A_pB_p)^2 + (AA_p)^2 + (BB_p)^2$

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 + 5^2$
$AB^2 = (4 \cdot 2) + 16 + 25$
$AB^2 = 8 + 16 + 25$
$AB^2 = 49$

Отсюда находим длину отрезка $AB$:
$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

5. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ провели перпендикуляр $MB$ к плоскости квадрата. Угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата равен $60^{\circ}$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $MCD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$, то есть $MB \perp (ABC)$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Прямая $MD$ является наклонной к плоскости $(ABC)$. Поскольку $MB \perp (ABC)$, отрезок $BD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата — это угол $\angle MDB$. По условию задачи, $\angle MDB = 60^\circ$.

Рассмотрим основание $ABCD$. Это квадрат со стороной $a$. Его диагональ $BD$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBD$. Он прямоугольный, так как $MB \perp (ABC)$, а значит $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BD$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle MDB) = \frac{MB}{BD}$

Отсюда находим высоту $MB$:

$MB = BD \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}$.

Теперь найдем угол между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется величиной своего линейного угла. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $CD$.

Для построения линейного угла нам нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $CD$ через одну и ту же точку. В качестве такой точки выберем точку $C$.

1. В плоскости $(ABC)$ проведем перпендикуляр к $CD$ из точки $C$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC \perp CD$.

2. В плоскости $(MCD)$ нужно найти перпендикуляр к $CD$ из точки $C$. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: $MC$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, $BC$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $BC$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $MC$ перпендикулярна этой прямой, то есть $MC \perp CD$.

Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$. Он прямоугольный, так как $MB \perp (ABC)$ и, следовательно, $MB \perp BC$. Мы знаем длины катетов: $BC = a$ и $MB = a\sqrt{6}$. Найдем тангенс искомого угла $\angle MCB$:

$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC} = \frac{a\sqrt{6}}{a} = \sqrt{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arctan(\sqrt{6})$.

Ответ: $\arctan(\sqrt{6})$.