Страница 89 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S и основанием ABC. Так как пирамида правильная, ее основание ABC является равносторонним треугольником, а высота пирамиды SO опускается в центр O этого треугольника (центр вписанной и описанной окружностей).

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Проведем апофему SK к стороне основания BC. По условию задачи, длина апофемы $SK = 12$ см.

Угол, который боковая грань SBC образует с плоскостью основания ABC, является двугранным углом при ребре BC. Величину этого угла измеряют линейным углом, образованным перпендикулярами к ребру BC, проведенными в обеих плоскостях. В плоскости боковой грани таким перпендикуляром является апофема $SK$ ($SK \perp BC$). В плоскости основания перпендикуляром к BC из центра O является отрезок OK, который является радиусом вписанной в основание окружности. Таким образом, искомый угол — это угол $\angle SKO$. По условию, $\angle SKO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SKO$. Он является прямоугольным, так как SO — высота пирамиды и, следовательно, $SO \perp OK$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $SK = 12$ см (апофема пирамиды);
• $\angle SKO = 60^\circ$ (угол между боковой гранью и основанием);
• катет OK — это радиус ($r$) окружности, вписанной в основание.

Найдем длину катета OK, используя тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$

Отсюда $OK = SK \cdot \cos(60^\circ)$. Подставим известные значения:

$OK = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Таким образом, радиус вписанной в основание окружности $r = 6$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $r = 6$ см:

$a = \frac{6 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{36\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

182. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина. Пусть $O$ – центр квадрата, тогда $SO$ – высота пирамиды. По условию, $SO = 4$ см.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это двугранный угол. Возьмем, к примеру, боковую грань $SBC$. Линией пересечения этой грани с плоскостью основания является сторона квадрата $BC$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. Проведем апофему (высоту боковой грани) $SM$ к стороне $BC$. Так как пирамида правильная, треугольник $SBC$ является равнобедренным, и его высота $SM$ также является медианой, то есть точка $M$ – середина отрезка $BC$.

Отрезок $OM$ в плоскости основания соединяет центр квадрата $O$ с серединой стороны $BC$. Следовательно, $OM$ перпендикулярен стороне $BC$ ($OM \perp BC$).

Поскольку $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию задачи, $\angle SMO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $OM$. Таким образом, $\angle SOM = 90^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ нам известны:

• катет $SO = 4$ см (высота пирамиды);
• угол $\angle SMO = 60^{\circ}$.

Мы можем найти второй катет $OM$ через тангенс угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$

Подставим известные значения:

$\tan(60^{\circ}) = \frac{4}{OM}$

Зная, что $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{4}{OM}$

Отсюда выразим $OM$:

$OM = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Так как $ABCD$ – квадрат, а $O$ – его центр, то расстояние от центра до середины стороны ($OM$) равно половине длины стороны квадрата. Обозначим сторону основания за $a$. Тогда:

$OM = \frac{a}{2}$

Теперь найдем сторону основания $a$:

$a = 2 \cdot OM = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

183. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна $60 \text{ см}^2$, а высота пирамиды — $12 \text{ см}$. Найдите сторону основания пирамиды.

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Диагональное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ квадрата ($d$), а высотой — высота самой пирамиды ($H$).

Площадь треугольника (диагонального сечения) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H$

Из условия задачи нам известны площадь сечения $S_{сеч} = 60 \text{ см}^2$ и высота пирамиды $H = 12 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину диагонали основания $d$:
$60 = \frac{1}{2} \cdot d \cdot 12$
$60 = 6d$
$d = \frac{60}{6} = 10 \text{ см}$.

Диагональ квадрата связана с его стороной ($a$) формулой $d = a\sqrt{2}$, которая следует из теоремы Пифагора. Выразим сторону основания $a$ через найденную диагональ $d$:
$10 = a\sqrt{2}$
$a = \frac{10}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

184. Сторона основания правильной семиугольной пирамиды равна 2 см, а её апофема — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется как произведение половины периметра её основания на апофему (высоту боковой грани).

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.

1. Найдём периметр основания.

Основанием пирамиды является правильный семиугольник. Сторона основания $a = 2$ см. В семиугольнике 7 сторон. Периметр основания $P$ равен:

$P = 7 \cdot a = 7 \cdot 2 = 14$ см.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Апофема пирамиды по условию равна $l = 3$ см. Подставим значения периметра и апофемы в формулу:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 7 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 21$ см².

Ответ: $21$ см².

185. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 45°, а боковое ребро — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Каждая боковая грань представляет собой треугольник, у которого две стороны равны боковому ребру пирамиды, а угол между этими сторонами — это плоский угол при вершине пирамиды.

Обозначим боковое ребро как $l$, а плоский угол при вершине как $\alpha$. По условию задачи:

• $l = 4$ см
• $\alpha = 45^\circ$

Площадь одного такого треугольника (одной боковой грани), обозначим ее $S_{грани}$, можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} l^2 \sin(\alpha)$

Подставим данные из условия:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см$^2$.

Так как у правильной шестиугольной пирамиды 6 одинаковых боковых граней, то площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна:

$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см$^2$.

186. Как изменится площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если сторону основания уменьшить в 3 раза, а апофему увеличить в 9 раз?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется как половина произведения периметра основания ($P$) на апофему ($l$).

Формула площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

Периметр основания, в свою очередь, зависит от длины стороны основания ($a$) и количества сторон ($n$): $P = n \cdot a$.

Таким образом, исходная площадь боковой поверхности ($S_1$) с начальной стороной основания $a_1$ и начальной апофемой $l_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} (n \cdot a_1) \cdot l_1$

Согласно условию задачи, произошли следующие изменения:

1. Сторону основания уменьшили в 3 раза. Новая сторона $a_2$ будет равна:

$a_2 = \frac{a_1}{3}$

2. Апофему увеличили в 9 раз. Новая апофема $l_2$ будет равна:

$l_2 = 9 \cdot l_1$

Теперь вычислим новую площадь боковой поверхности ($S_2$) с новыми параметрами. Новый периметр основания будет $P_2 = n \cdot a_2 = n \cdot \frac{a_1}{3}$.

$S_2 = \frac{1}{2} P_2 \cdot l_2 = \frac{1}{2} \left(n \cdot \frac{a_1}{3}\right) \cdot (9 \cdot l_1)$

Сгруппируем множители, чтобы сравнить новую площадь с исходной:

$S_2 = \frac{1}{2} (n \cdot a_1 \cdot l_1) \cdot \frac{9}{3}$

$S_2 = \left(\frac{1}{2} (n \cdot a_1) \cdot l_1\right) \cdot 3$

Выражение в скобках является формулой для исходной площади $S_1$. Следовательно:

$S_2 = S_1 \cdot 3$

Это означает, что новая площадь боковой поверхности в 3 раза больше исходной.

Ответ: Площадь боковой поверхности увеличится в 3 раза.

187. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема.

В основании данной правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P = 4a$. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо сначала найти длину стороны основания $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, её апофемой $l$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2}$. В этом треугольнике апофема $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и отрезок $\frac{a}{2}$ — катетами.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим в формулу известные значения: апофема $l = 10$ см, высота $h = 6$ см.
$10^2 = 6^2 + (\frac{a}{2})^2$
$100 = 36 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 100 - 36$
$(\frac{a}{2})^2 = 64$
$\frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь мы можем найти длину стороны основания $a$:
$a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Зная сторону основания, вычислим его периметр:
$P = 4a = 4 \cdot 16 = 64$ см.

Наконец, подставим значения периметра и апофемы в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 10 = 32 \cdot 10 = 320$ см$^2$.

Ответ: $320$ см$^2$.

188. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади её основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Нахождение площади основания

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию задачи сторона основания $a = 2$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь основания является ортогональной проекцией боковой поверхности на плоскость основания. Поэтому площади связаны соотношением:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. По условию, $\alpha = 30°$.

Выразим из этой формулы площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения $S_{осн} = \sqrt{3}$ см² и $\alpha = 30°$ (где $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):

$S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{\cos(30°)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \sqrt{3} + 2$ см².

Ответ: $2 + \sqrt{3}$ см².

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 10 см, а высота — 6 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Либо как сумму площадей шести одинаковых боковых граней (треугольников): $S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$.

Дано: правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро $l = 10$ см, высота пирамиды $H = 6$ см.

1. Найдем сторону основания пирамиды ($a$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (катет). В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
$10^2 = 6^2 + a^2$
$100 = 36 + a^2$
$a^2 = 100 - 36 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).
Апофема — это высота боковой грани. Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $l=10$ см и основанием $a=8$ см. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l$ (гипотенуза), апофемой $h_a$ (катет) и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ (катет).
По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$.
$10^2 = h_a^2 + (\frac{8}{2})^2$
$100 = h_a^2 + 4^2$
$100 = h_a^2 + 16$
$h_a^2 = 100 - 16 = 84$
$h_a = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Периметр основания (правильного шестиугольника) равен $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 8 = 48$ см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{21} = 48\sqrt{21}$ см².

Ответ: $48\sqrt{21}$ см².

190. Угол между высотой и боковым ребром правильной треугольной пирамиды равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 18 см.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S, основанием ABC и высотой SO, где O — центр основания.По условию, высота пирамиды $SO = H = 18$ см. Угол между высотой SO и боковым ребром (например, SA) равен $30^\circ$, то есть $\angle ASO = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (так как $SO \perp ABC$, то $SO \perp AO$). В этом треугольнике катет $SO = 18$ см, а катет AO является радиусом ($R$) окружности, описанной около основания ABC.Найдем $R$ через тангенс угла $\angle ASO$:$R = AO = SO \cdot \tan(\angle ASO) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC. Сторона $a$ такого треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.Выразим и найдем сторону основания $a$:$a = R \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).Найдем периметр основания:$P = 3a = 3 \cdot 18 = 54$ см.

4. Апофема $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $SO$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. Пусть M — середина стороны BC, тогда $SM = h_a$ и $OM = r$.Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ равен половине радиуса описанной окружности $R$:$r = OM = \frac{R}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$. По теореме Пифагора найдем апофему $SM = h_a$:$h_a^2 = SO^2 + OM^2 = 18^2 + (3\sqrt{3})^2 = 324 + 9 \cdot 3 = 324 + 27 = 351$.$h_a = \sqrt{351} = \sqrt{9 \cdot 39} = 3\sqrt{39}$ см.

6. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 3\sqrt{39} = 27 \cdot 3\sqrt{39} = 81\sqrt{39}$ см$^2$.

Ответ: $81\sqrt{39}$ см$^2$.

191. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади её основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Сторона этого треугольника ($a$) связана с радиусом описанной около него окружности ($R$) соотношением: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 3\sqrt{3}$ см. Найдем сторону основания $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставив значение стороны $a$, получим:

$S_{осн} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания ($P_{осн}$) на апофему ($l$): $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$.

Периметр основания равен: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 9 = 27$ см.

Апофема дана в условии: $l = 4$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 4 = 27 \cdot 2 = 54$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$)

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + 54$ см².

Ответ: $54 + \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².