Номер 181, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S и основанием ABC. Так как пирамида правильная, ее основание ABC является равносторонним треугольником, а высота пирамиды SO опускается в центр O этого треугольника (центр вписанной и описанной окружностей).

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Проведем апофему SK к стороне основания BC. По условию задачи, длина апофемы $SK = 12$ см.

Угол, который боковая грань SBC образует с плоскостью основания ABC, является двугранным углом при ребре BC. Величину этого угла измеряют линейным углом, образованным перпендикулярами к ребру BC, проведенными в обеих плоскостях. В плоскости боковой грани таким перпендикуляром является апофема $SK$ ($SK \perp BC$). В плоскости основания перпендикуляром к BC из центра O является отрезок OK, который является радиусом вписанной в основание окружности. Таким образом, искомый угол — это угол $\angle SKO$. По условию, $\angle SKO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SKO$. Он является прямоугольным, так как SO — высота пирамиды и, следовательно, $SO \perp OK$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $SK = 12$ см (апофема пирамиды);
• $\angle SKO = 60^\circ$ (угол между боковой гранью и основанием);
• катет OK — это радиус ($r$) окружности, вписанной в основание.

Найдем длину катета OK, используя тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$

Отсюда $OK = SK \cdot \cos(60^\circ)$. Подставим известные значения:

$OK = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Таким образом, радиус вписанной в основание окружности $r = 6$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $r = 6$ см:

$a = \frac{6 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{36\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.