Номер 176, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Основанием параллелепипеда является ромб с углом $60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины этого угла, образует с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно 18 см.

Пусть основанием параллелепипеда является ромб $ABCD$, в котором $\angle BAD = 60^\circ$. Пусть боковое ребро, выходящее из вершины $A$, будет $AA'$. По условию, длина бокового ребра $|AA'| = 18$ см, и оно образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы, равные $60^\circ$, то есть $\angle A'AB = 60^\circ$ и $\angle A'AD = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A'$ на плоскость основания $ABCD$.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$. Так как основание — ромб, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$.

Координаты вершин основания:

• $A(0, 0, 0)$
• Поскольку $AD$ лежит на оси $Ox$, то вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $(a, 0, 0)$.
• Угол $\angle BAD = 60^\circ$, поэтому вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0)$, что равно $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть точка $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Тогда вектор $\vec{AA'}$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота параллелепипеда $H$ будет равна координате $z$ точки $A'$ (при условии, что $z > 0$).

Мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1. Для векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle A'AD)$
$x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 18 \cdot a \cdot \cos 60^\circ$
$xa = 18a \cdot \frac{1}{2}$
$xa = 9a$
Так как $a \neq 0$, то $x = 9$.

2. Для векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A'AB)$
$x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = 18 \cdot a \cdot \cos 60^\circ$
$\frac{xa}{2} + \frac{ya\sqrt{3}}{2} = 18a \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{a}{2}(x + y\sqrt{3}) = 9a$
Разделив обе части на $\frac{a}{2}$ (так как $a \neq 0$), получаем:
$x + y\sqrt{3} = 18$

Теперь у нас есть система уравнений для $x$ и $y$:
$x = 9$
$x + y\sqrt{3} = 18$
Подставим значение $x$ во второе уравнение:
$9 + y\sqrt{3} = 18$
$y\sqrt{3} = 9$
$y = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

Длина бокового ребра $AA'$ равна 18 см, что соответствует длине вектора $\vec{AA'}$.
$|\vec{AA'}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 18^2 = 324$
Подставим найденные значения $x$ и $y$:
$9^2 + (3\sqrt{3})^2 + z^2 = 324$
$81 + (9 \cdot 3) + z^2 = 324$
$81 + 27 + z^2 = 324$
$108 + z^2 = 324$
$z^2 = 324 - 108 = 216$
Высота $H = z = \sqrt{216}$. Упростим корень:
$\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$

Таким образом, высота параллелепипеда равна $6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $6\sqrt{6}$ см.