Номер 180, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, где в основании лежит квадрат ABCD, а S — её вершина. Сторона основания $a = AB = 4$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Высота правильной пирамиды SO опускается в центр основания O (точку пересечения диагоналей квадрата). Таким образом, проекцией бокового ребра SC на плоскость основания является отрезок OC. По условию, угол между ребром SC и его проекцией OC составляет $45^\circ$, то есть $\angle SCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC (так как SO — высота, $\angle SOC = 90^\circ$). Чтобы найти боковое ребро SC (гипотенузу этого треугольника), нам нужно сначала найти длину катета OC.

OC является половиной диагонали AC квадрата ABCD. Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора из треугольника ABC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
$AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то:
$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике SOC мы знаем катет $OC = 2\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему угол $\angle SCO = 45^\circ$. Найдем гипотенузу SC (боковое ребро) через косинус угла:
$\cos(\angle SCO) = \frac{OC}{SC}$
Отсюда, $SC = \frac{OC}{\cos(\angle SCO)} = \frac{2\sqrt{2}}{\cos(45^\circ)}$.

Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$SC = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Также можно заметить, что так как в прямоугольном треугольнике SOC один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle CSO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник SOC — равнобедренный, и $SO = OC = 2\sqrt{2}$ см. Тогда по теореме Пифагора:
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$.
$SC = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.