Номер 175, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 340 $\text{см}^2$, а одного из диагональных сечений — 150 $\text{см}^2$. Найдите площадь второго диагонального сечения.

Пусть $a$ — сторона ромба, лежащего в основании прямого параллелепипеда, $h$ — высота параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Для ромба, у которого все стороны равны $a$, периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4ah$.

По условию задачи, $S_{бок} = 340 \text{ см}^2$, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$4ah = 340$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Их площади равны произведениям диагоналей основания на высоту параллелепипеда. Обозначим площади диагональных сечений как $S_1$ и $S_2$.

$S_1 = d_1 h$

$S_2 = d_2 h$

По условию, площадь одного из сечений равна $150 \text{ см}^2$. Пусть это будет $S_1$:

$d_1 h = 150$

Для любого ромба существует соотношение между длиной стороны $a$ и длинами его диагоналей $d_1$ и $d_2$, которое следует из теоремы Пифагора (диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам):

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Чтобы связать все величины, возведём в квадрат уравнения для площадей:

$(4ah)^2 = 340^2 \implies 16a^2h^2 = 115600$. Разделив на 4, получим: $4a^2h^2 = 28900$.

$(d_1 h)^2 = 150^2 \implies d_1^2 h^2 = 22500$.

Теперь умножим обе части соотношения для ромба ($d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$) на $h^2$:

$(d_1^2 + d_2^2) \cdot h^2 = 4a^2 \cdot h^2$

$d_1^2 h^2 + d_2^2 h^2 = 4a^2 h^2$

Это равенство можно переписать в виде:

$(d_1 h)^2 + (d_2 h)^2 = 4a^2 h^2$

Подставим известные значения в это равенство:

$22500 + (d_2 h)^2 = 28900$

Теперь найдём $(d_2 h)^2$, что представляет собой квадрат искомой площади второго сечения $S_2$:

$(d_2 h)^2 = 28900 - 22500$

$(d_2 h)^2 = 6400$

Отсюда, площадь второго диагонального сечения $S_2 = d_2 h$ равна:

$S_2 = \sqrt{6400} = 80 \text{ см}^2$

Ответ: 80 см².