Номер 168, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$, $AC = BC = 4$ см. Боковое ребро $CC_1$ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$, а проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1 B_1 B$.

Основанием призмы является прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с катетами $AC = BC = 4$ см. Прямой угол - $\angle C$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, проекцией точки $C_1$ на плоскость основания $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $O$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Таким образом, $O$ - середина $AB$.

Угол между боковым ребром $CC_1$ и плоскостью основания $ABC$ - это угол между самой прямой $CC_1$ и её проекцией $OC$ на плоскость. Следовательно, $\angle C_1CO = 60^\circ$. Так как $C_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, треугольник $\triangle C_1OC$ - прямоугольный ($\angle C_1OC = 90^\circ$).

Отрезок $OC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в $\triangle ABC$. Длина такой медианы равна половине гипотенузы:

$OC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle C_1OC$ найдем длину бокового ребра $CC_1$, которое является гипотенузой в этом треугольнике:

$\cos(\angle C_1CO) = \frac{OC}{CC_1} \implies CC_1 = \frac{OC}{\cos(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{1/2} = 4\sqrt{2}$ см.

Все боковые ребра призмы равны, значит $AA_1 = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см.

Боковая грань $AA_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $AB$ и $AA_1$. Найдем ее площадь. Для этого определим, является ли эта грань прямоугольником, т.е. перпендикулярны ли ребра $AB$ и $AA_1$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, это эквивалентно проверке перпендикулярности $AB$ и $CC_1$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $OC$ является также высотой, поэтому $OC \perp AB$.
По построению, $C_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, значит $C_1O \perp AB$.
Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OC$ и $C_1O$) в плоскости $C_1OC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $C_1OC$.

Так как ребро $CC_1$ лежит в плоскости $C_1OC$, то $AB \perp CC_1$. Следовательно, $AB \perp AA_1$, и грань $AA_1B_1B$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $AA_1B_1B$ равна произведению его сторон:

$S_{AA_1B_1B} = AB \cdot AA_1 = (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Ответ: $32$ см$^2$.