Номер 163, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Через диагональ основания правильной четырёхугольной призмы со стороной основания $b$ проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол $\beta$ и пересекает боковое ребро призмы в его середине. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $b$. Пусть высота призмы равна $H$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Периметр квадрата со стороной $b$ равен $P_{осн} = 4b$. Таким образом, $S_{бок} = 4bH$. Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо определить высоту призмы $H$.

Согласно условию, через диагональ основания, например $AC$, проведена плоскость. Эта плоскость пересекает боковое ребро в его середине. Пусть секущая плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$, которая является его серединой. Так как боковые грани призмы параллельны, то плоскость сечения пересечет противолежащее ребро $BB_1$ также в его середине, в точке $N$. Таким образом, сечением является четырехугольник $AMCN$.

Угол между секущей плоскостью ($AMCN$) и плоскостью основания ($ABCD$) по условию равен $\beta$. Этот угол является двугранным углом, образованным плоскостями, с ребром $AC$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то $DO \perp AC$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Он является равнобедренным, поскольку $AM = CM$ (как гипотенузы равных прямоугольных треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle CDM$). Отрезок $MO$ является медианой в равнобедренном треугольнике $\triangle AMC$, проведенной к основанию $AC$, а значит, и высотой: $MO \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle MOD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MOD = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOD$. Так как призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $DO$. Следовательно, треугольник $\triangle MOD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MDO$.

В этом треугольнике катет $MD$ равен половине высоты призмы: $MD = \frac{H}{2}$. Катет $DO$ равен половине диагонали основания $BD$. Длина диагонали квадрата со стороной $b$ равна $d = b\sqrt{2}$. Таким образом, $DO = \frac{1}{2}BD = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $\triangle MOD$ имеем:$\tan(\angle MOD) = \frac{MD}{DO}$$\tan\beta = \frac{H/2}{b\sqrt{2}/2} = \frac{H}{b\sqrt{2}}$

Выразим из этого уравнения высоту призмы $H$:$H = b\sqrt{2}\tan\beta$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 4bH = 4b \cdot (b\sqrt{2}\tan\beta) = 4\sqrt{2}b^2\tan\beta$

Ответ: $4\sqrt{2}b^2\tan\beta$.