Номер 156, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 9 см и 6 см и углом 60°. Площадь меньшего из диагональных сечений призмы равна $24\sqrt{7}$ см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы необходимо найти периметр ее основания и высоту. Высоту призмы можно найти через площадь диагонального сечения.

1. Найдем диагонали основания призмы.

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 9$ см и $b = 6$ см и углом между ними $\alpha = 60^{\circ}$. В параллелограмме два угла, их сумма равна $180^{\circ}$, значит второй угол $\beta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Длину диагоналей ($d_1$ и $d_2$) найдем по теореме косинусов. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего (острого) угла.

Найдем квадрат меньшей диагонали $d_1$, лежащей против угла $60^{\circ}$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^{\circ})$
$d_1^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 81 + 36 - 54 = 63$
$d_1 = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Для проверки найдем и вторую диагональ $d_2$, лежащую против угла $120^{\circ}$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^{\circ})$
$d_2^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 + 36 + 54 = 171$
$d_2 = \sqrt{171}$ см.

Так как $63 < 171$, то меньшая диагональ действительно $d_1 = 3\sqrt{7}$ см.

2. Найдем высоту призмы.

Призма является прямой, поэтому ее диагональное сечение — это прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и высота призмы ($h$). Площадь меньшего диагонального сечения соответствует меньшей диагонали основания ($d_1$). По условию, эта площадь $S_{\text{сеч}} = 24\sqrt{7}$ см².

$S_{\text{сеч}} = d_1 \cdot h$
$24\sqrt{7} = 3\sqrt{7} \cdot h$

Отсюда выразим высоту $h$:
$h = \frac{24\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = 8$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{\text{бок}}$) равна произведению периметра основания ($P_{\text{осн}}$) на высоту призмы ($h$).

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$

Сначала найдем периметр параллелограмма:
$P_{\text{осн}} = 2(a + b) = 2(9 + 6) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{\text{бок}} = 30 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 240$ см².

Ответ: $240$ см².