Страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Основанием прямой призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна $2\sqrt{3}$ см, а угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $30^{\circ}$. Найдите диагональ призмы, если её боковое ребро равно $4\sqrt{2}$ см.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольник ABCD, а сама призма — $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть сторона основания $AB = 2\sqrt{3}$ см. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника AC равен $30^\circ$, то есть $\angle CAB = 30^\circ$. Боковое ребро призмы, которое также является её высотой, равно $h = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см. Нам нужно найти диагональ призмы, например, $A_1C$.

1. Найдем диагональ основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как ABCD — прямоугольник). В этом треугольнике нам известен катет $AB = 2\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 30^\circ$. Диагональ основания AC является гипотенузой этого треугольника.Найдем гипотенузу AC, используя определение косинуса:$ \cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} $Отсюда выразим AC:$ AC = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} $Подставим известные значения ($AB = 2\sqrt{3}$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):$ AC = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 $ см.Итак, диагональ основания $d_{осн} = AC = 4$ см.

2. Найдем диагональ призмы.
Диагональ призмы $A_1C$, диагональ основания $AC$ и боковое ребро $A_1A$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle A_1AC$ (угол $\angle A_1AC = 90^\circ$, так как призма прямая, и её боковые рёбра перпендикулярны основанию).В этом треугольнике катеты — это диагональ основания $AC = 4$ см и боковое ребро (высота) $A_1A = 4\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы $A_1C$ является гипотенузой.По теореме Пифагора:$ A_1C^2 = AC^2 + A_1A^2 $Подставим найденные значения:$ A_1C^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 $$ A_1C^2 = 16 + (16 \cdot 2) $$ A_1C^2 = 16 + 32 $$ A_1C^2 = 48 $$ A_1C = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

149. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 26 см, а большая диагональ — 48 см.

Меньшая диагональ призмы равна $10\sqrt{5}$ см. Найдите высоту ромба.

Обозначим сторону ромба, являющегося основанием призмы, как $a$, его большую диагональ как $d_1$, меньшую диагональ как $d_2$, и его высоту как $h$. По условию задачи дано: $a = 26$ см, $d_1 = 48$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они разделяют ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба ($a$).

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения половины меньшей диагонали: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения: $(\frac{48}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 26^2$ $24^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 26^2$ $576 + (\frac{d_2}{2})^2 = 676$ $(\frac{d_2}{2})^2 = 676 - 576 = 100$ $\frac{d_2}{2} = \sqrt{100} = 10$ см.

Отсюда находим длину всей меньшей диагонали ромба: $d_2 = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Площадь ромба ($S$) можно найти двумя способами: как половину произведения его диагоналей или как произведение его стороны на высоту. $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ $S = a \cdot h$

Сначала вычислим площадь через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 24 \cdot 20 = 480$ см².

Теперь, приравняв два выражения для площади, найдем высоту ромба $h$: $a \cdot h = S$ $26 \cdot h = 480$ $h = \frac{480}{26} = \frac{240}{13}$ см.

(Информация о меньшей диагонали призмы, равной $10\sqrt{5}$ см, является избыточной для нахождения высоты ромба).

Ответ: $\frac{240}{13}$ см.

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 16 см, а высота — $4\sqrt{3}$ см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Поскольку призма является прямой, её боковые грани перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы измеряется линейным углом, который является углом многоугольника в основании при соответствующей вершине. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, лежащей в основании призмы.

Рассмотрим основание призмы — равнобокую трапецию ABCD, где AD и BC — основания. По условию, большее основание $AD = 16$ см, меньшее основание $BC = 8$ см, а высота трапеции $h = 4\sqrt{3}$ см.

Проведём из вершин B и C высоты BH и CK к основанию AD. Образовавшийся четырёхугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см. Так как трапеция равнобокая, то треугольники ABH и DCK равны, а значит равны и отрезки $AH$ и $KD$.

Длину отрезка AH можно найти следующим образом:

$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где $\angle AHB = 90^\circ$. Нам известны длины катетов: $AH = 4$ см и $BH = h = 4\sqrt{3}$ см. Мы можем найти угол A (угол при большем основании трапеции), используя тангенс угла:

$\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Из этого соотношения находим, что $\angle A = 60^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при другом конце большего основания также равен $60^\circ$:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Отсюда можем найти углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Итак, углы трапеции в основании равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$. Следовательно, двугранные углы при боковых рёбрах призмы, соответствующие этим вершинам, равны этим же значениям.

Ответ: два двугранных угла равны $60^\circ$, и два других двугранных угла равны $120^\circ$.

151. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Высота призмы равна $h$. Диагональ призмы $D = B_1D = 8$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания – это угол между отрезком $B_1D$ и его проекцией на плоскость основания $ABCD$, которой является диагональ основания $BD$. Таким образом, по условию, $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Найдите сторону основания призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$, где $\angle B_1BD = 90^\circ$. Катеты этого треугольника – высота призмы $h = BB_1$ и диагональ основания $d = BD$, а гипотенуза – диагональ призмы $D = B_1D$.

Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $45^\circ$, а сам треугольник является равнобедренным. Следовательно, $h = d$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем длину диагонали основания $d$: $d = D \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

В основании призмы лежит квадрат, диагональ которого $d$ связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Подставим найденное значение $d$: $4\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Отсюда находим сторону основания: $a = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Найдите угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью

Угол между диагональю призмы $B_1D$ и плоскостью боковой грани (например, $CDD_1C_1$) – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость.

Для построения проекции опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно ребру $C_1D_1$ (как стороны квадрата) и ребру $CC_1$ (так как боковые грани перпендикулярны основанию). Следовательно, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$.

Таким образом, отрезок $C_1D$ является проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Искомый угол $\beta$ – это угол $\angle B_1DC_1$ в треугольнике $\triangle B_1C_1D$.

Поскольку $B_1C_1 \perp (CDD_1C_1)$, то $B_1C_1 \perp C_1D$, и треугольник $\triangle B_1C_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$.

В этом треугольнике нам известны: - гипотенуза $B_1D = D = 8$ см (диагональ призмы); - катет $B_1C_1 = a = 4$ см (сторона основания, найденная в предыдущем пункте).

Найдем синус искомого угла $\beta = \angle B_1DC_1$: $\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\beta = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

152. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 10 см, а высота призмы — $4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности

Для нахождения площади боковой поверхности правильной призмы используется формула: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 10$ см. Периметр такого треугольника равен: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 10 = 30$ см.

Высота призмы дана по условию: $h = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 30 \text{ см} \cdot 4\sqrt{3} \text{ см} = 120\sqrt{3}$ см².

Ответ: $120\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы вычисляется как сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности мы уже нашли: $S_{бок} = 120\sqrt{3}$ см². Теперь необходимо найти площадь основания ($S_{осн}$). Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны основания $a = 10$ см: $S_{осн} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 120\sqrt{3} + 2 \cdot (25\sqrt{3}) = 120\sqrt{3} + 50\sqrt{3} = (120+50)\sqrt{3} = 170\sqrt{3}$ см².

Ответ: $170\sqrt{3}$ см².

153. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 17 см, а основание — 30 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна 10 см.

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Для решения задачи найдем последовательно площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием призмы является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 17 см и основанием 30 см. Чтобы найти его площадь, сначала вычислим высоту ($h$), проведенную к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка: $30 / 2 = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора:

$h^2 + 15^2 = 17^2$

$h^2 + 225 = 289$

$h^2 = 289 - 225$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь основания (треугольника):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Сначала найдем периметр треугольника в основании:

$P_{осн} = 17 + 17 + 30 = 64$ см.

Высота призмы дана в условии: $H = 10$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 64 \cdot 10 = 640$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности призмы ($S_{полн}$)

Сложим удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 640$

$S_{полн} = 240 + 640 = 880$ см².

Ответ: 880 см².

154. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 4 см и 6 см и углом $60^\circ$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем периметр основания призмы.
Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Периметр параллелограмма равен:$P_{осн} = 2(a+b) = 2(4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Найдем высоту призмы.
По условию, призма прямая, значит, ее боковые грани являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра.Рассмотрим боковую грань, содержащую большую сторону основания (сторону длиной 6 см). Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами 6 см и $h$.Диагональ этой грани, ее основание (сторона параллелограмма длиной 6 см) и боковое ребро (высота призмы $h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Один катет — это сторона основания, равная 6 см.
• Второй катет — это высота призмы $h$.
• Гипотенуза — это диагональ боковой грани.

Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Так как призма прямая, проекцией диагонали является сторона основания длиной 6 см.Таким образом, угол между катетом (стороной 6 см) и гипотенузой (диагональю) равен $30^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(30^\circ) = \frac{h}{6}$Отсюда находим высоту $h$:$h = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Теперь, зная периметр основания и высоту, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см².

Ответ: $40\sqrt{3}$ см².

155. Найдите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной призмы, если диагональ её боковой грани равна a и образует с плоскостью основания призмы угол $\gamma$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Для правильной пятиугольной призмы основанием является правильный пятиугольник. Если сторона основания равна $b$, то периметр $P_{осн} = 5b$, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 5bh$.

Боковая грань правильной призмы — это прямоугольник со сторонами $b$ и $h$. Диагональ этой грани (по условию равная $a$), сторона основания ($b$) и высота призмы ($h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике диагональ $a$ является гипотенузой, а $b$ и $h$ — катетами.

Угол, который диагональ боковой грани образует с плоскостью основания, — это угол между этой диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали является сторона основания $b$. Таким образом, угол $\gamma$ — это угол в нашем прямоугольном треугольнике между гипотенузой $a$ и катетом $b$.

Используя определения тригонометрических функций для этого треугольника, выразим катеты $b$ и $h$ через гипотенузу $a$ и угол $\gamma$:
$b = a \cos\gamma$ (катет, прилежащий к углу $\gamma$)
$h = a \sin\gamma$ (катет, противолежащий углу $\gamma$)

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 5bh = 5 \cdot (a \cos\gamma) \cdot (a \sin\gamma) = 5a^2 \sin\gamma \cos\gamma$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\gamma) = 2\sin\gamma\cos\gamma$, этот результат можно также записать в виде $S_{бок} = \frac{5}{2} a^2 \sin(2\gamma)$.

Ответ: $5a^2 \sin\gamma \cos\gamma$

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 9 см и 6 см и углом 60°. Площадь меньшего из диагональных сечений призмы равна $24\sqrt{7}$ см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы необходимо найти периметр ее основания и высоту. Высоту призмы можно найти через площадь диагонального сечения.

1. Найдем диагонали основания призмы.

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 9$ см и $b = 6$ см и углом между ними $\alpha = 60^{\circ}$. В параллелограмме два угла, их сумма равна $180^{\circ}$, значит второй угол $\beta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Длину диагоналей ($d_1$ и $d_2$) найдем по теореме косинусов. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего (острого) угла.

Найдем квадрат меньшей диагонали $d_1$, лежащей против угла $60^{\circ}$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^{\circ})$
$d_1^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 81 + 36 - 54 = 63$
$d_1 = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Для проверки найдем и вторую диагональ $d_2$, лежащую против угла $120^{\circ}$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^{\circ})$
$d_2^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 + 36 + 54 = 171$
$d_2 = \sqrt{171}$ см.

Так как $63 < 171$, то меньшая диагональ действительно $d_1 = 3\sqrt{7}$ см.

2. Найдем высоту призмы.

Призма является прямой, поэтому ее диагональное сечение — это прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и высота призмы ($h$). Площадь меньшего диагонального сечения соответствует меньшей диагонали основания ($d_1$). По условию, эта площадь $S_{\text{сеч}} = 24\sqrt{7}$ см².

$S_{\text{сеч}} = d_1 \cdot h$
$24\sqrt{7} = 3\sqrt{7} \cdot h$

Отсюда выразим высоту $h$:
$h = \frac{24\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = 8$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{\text{бок}}$) равна произведению периметра основания ($P_{\text{осн}}$) на высоту призмы ($h$).

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$

Сначала найдем периметр параллелограмма:
$P_{\text{осн}} = 2(a + b) = 2(9 + 6) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{\text{бок}} = 30 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 240$ см².

Ответ: $240$ см².