Страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Боковая грань $MKF$ пирамиды $KMNF$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $MN$ и $NF$ равны $45^\circ$. Найдите ребро $KF$, если $\angle MNF = 90^\circ$, $MN = NF = 12$ см.

Пусть $KMNF$ - данная пирамида. Основанием является прямоугольный треугольник $MNF$, так как $\angle MNF = 90^\circ$. Также, поскольку $MN = NF = 12$ см, треугольник $MNF$ является равнобедренным.

По условию, боковая грань $MKF$ перпендикулярна плоскости основания $MNF$. Пусть $KH$ - высота пирамиды, опущенная из вершины $K$ на плоскость основания. Так как плоскость $(MKF)$ перпендикулярна плоскости $(MNF)$, то основание высоты $H$ будет лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на ребре $MF$. Таким образом, $H \in MF$ и $KH \perp (MNF)$.

Двугранный угол при ребре $MN$ образован гранями $(KMN)$ и $(MNF)$. Для нахождения его линейного угла построим перпендикуляр из точки $H$ к ребру $MN$. Пусть $P$ - основание этого перпендикуляра, тогда $HP \perp MN$. Так как $KH$ - перпендикуляр к плоскости $(MNF)$, а $HP$ - проекция наклонной $KP$ на эту плоскость, то по теореме о трех перпендикулярах $KP \perp MN$. Следовательно, $\angle KPH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $MN$. По условию, $\angle KPH = 45^\circ$.

Аналогично, для двугранного угла при ребре $NF$ построим перпендикуляр из точки $H$ к ребру $NF$. Пусть $Q$ - основание этого перпендикуляра, тогда $HQ \perp NF$. По теореме о трех перпендикулярах, $KQ \perp NF$. Следовательно, $\angle KQH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $NF$. По условию, $\angle KQH = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KPH$ (так как $KH \perp (MNF)$, то $KH \perp HP$). Катеты $KH$ и $HP$ связаны через тангенс угла $\angle KPH$:$ \text{tg}(\angle KPH) = \frac{KH}{HP} $$ \text{tg}(45^\circ) = 1 = \frac{KH}{HP} \implies KH = HP $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KQH$:$ \text{tg}(\angle KQH) = \frac{KH}{HQ} $$ \text{tg}(45^\circ) = 1 = \frac{KH}{HQ} \implies KH = HQ $

Таким образом, мы получили, что $KH = HP = HQ$. Это означает, что точка $H$ в плоскости основания равноудалена от сторон $MN$ и $NF$ угла $\angle MNF$. Следовательно, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle MNF$.

Введем в плоскости основания систему координат с началом в точке $N$, направив ось $Ox$ вдоль ребра $NF$ и ось $Oy$ вдоль ребра $NM$. В этой системе координат вершины основания имеют координаты: $N(0,0)$, $F(12,0)$, $M(0,12)$.Точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle MNF$ (угол между осями $Ox$ и $Oy$), поэтому ее координаты равны: $H(x_H, x_H)$.Точка $H$ также лежит на прямой $MF$. Уравнение прямой, проходящей через точки $M(0,12)$ и $F(12,0)$, имеет вид:$ \frac{x-0}{12-0} = \frac{y-12}{0-12} \implies \frac{x}{12} = \frac{y-12}{-12} \implies -x = y-12 \implies x+y=12 $

Поскольку точка $H(x_H, x_H)$ лежит на этой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению:$ x_H + x_H = 12 \implies 2x_H = 12 \implies x_H = 6 $Значит, точка $H$ имеет координаты $(6,6)$.Расстояние от точки $H(6,6)$ до оси $Oy$ (прямой $MN$) равно $HP = 6$ см. Расстояние до оси $Ox$ (прямой $NF$) равно $HQ = 6$ см.Высота пирамиды $KH = HP = 6$ см.

Теперь найдем искомое ребро $KF$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHF$ (угол $\angle KHF = 90^\circ$, так как $KH$ перпендикулярна всей плоскости основания, а значит и любой прямой в ней).Найдем длину катета $HF$ как расстояние между точками $H(6,6)$ и $F(12,0)$:$ HF = \sqrt{(12-6)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} $ см.

По теореме Пифагора для треугольника $KHF$:$ KF^2 = KH^2 + HF^2 $$ KF^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 + 72 = 108 $$ KF = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} $ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$. Грань $MBC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AB$ и $CD$ равны $30^{\circ}$. Высота пирамиды равна $\sqrt{3}$ см. Найдите площадь грани $AMD$.

Пусть MABCD – заданная пирамида. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Грань MBC перпендикулярна плоскости основания (ABCD). Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины M, лежит в плоскости грани MBC. Пусть MH – высота пирамиды, тогда H – основание высоты, H лежит на прямой BC, и MH ⊥ (ABCD). По условию, $MH = \sqrt{3}$ см.

Найдем линейный угол двугранного угла при ребре AB. Он образуется двумя перпендикулярами к ребру AB, проведенными в гранях MAB и ABCD из одной точки.

• В плоскости основания (ABCD) проведем перпендикуляр к AB. Так как ABCD – квадрат, то BC ⊥ AB. Поскольку точка H лежит на BC, то и HB ⊥ AB.
• Рассмотрим наклонную MB и ее проекцию HB на плоскость основания. Так как проекция HB перпендикулярна прямой AB, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная MB перпендикулярна прямой AB (MB ⊥ AB).
• Таким образом, ∠MBH является линейным углом двугранного угла при ребре AB. По условию, $∠MBH = 30°$.

Аналогично найдем линейный угол двугранного угла при ребре CD.

• В плоскости основания (ABCD) CD ⊥ BC. Поскольку точка H лежит на BC, то и HC ⊥ CD.
• Рассмотрим наклонную MC и ее проекцию HC. Так как HC ⊥ CD, то по теореме о трех перпендикулярах MC ⊥ CD.
• Следовательно, ∠MCH является линейным углом двугранного угла при ребре CD. По условию, $∠MCH = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBH (угол ∠MHB = 90°, так как MH – высота). Из определения тангенса угла:

$tg(∠MBH) = \frac{MH}{HB}$

$HB = \frac{MH}{tg(30°)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}) = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MCH (угол ∠MHC = 90°):

$tg(∠MCH) = \frac{MH}{HC}$

$HC = \frac{MH}{tg(30°)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ см.

Точка H лежит на стороне основания BC. Длина стороны квадрата BC равна сумме длин отрезков HB и HC:

$BC = HB + HC = 3 + 3 = 6$ см.

Следовательно, сторона квадрата ABCD равна 6 см. В частности, $AD = 6$ см.

Теперь найдем площадь грани AMD. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону AD. Найдем высоту MK, проведенную из вершины M к стороне AD.

Для нахождения длины MK воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

• MH – перпендикуляр к плоскости (ABCD).
• Проведем из точки H перпендикуляр HK к прямой AD. Так как ABCD – квадрат, то AB ⊥ AD и BC || AD. Поскольку H лежит на BC, то отрезок HK, перпендикулярный AD, будет параллелен AB, и его длина будет равна стороне квадрата. Таким образом, HK ⊥ AD и $HK = AB = 6$ см.
• По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция HK перпендикулярна прямой AD, то и наклонная MK перпендикулярна прямой AD (MK ⊥ AD). Значит, MK – это высота треугольника AMD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKH (угол ∠MHK = 90°, так как MH ⊥ (ABCD), а HK лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора:

$MK^2 = MH^2 + HK^2$

$MK^2 = (\sqrt{3})^2 + 6^2 = 3 + 36 = 39$

$MK = \sqrt{39}$ см.

Теперь можем вычислить площадь грани AMD:

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{39} = 3\sqrt{39}$ см².

Ответ: $3\sqrt{39}$ см².

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 6 см и 4 см, а боковое ребро — $ \sqrt{10} $ см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей её оснований ($S_{осн1}$ и $S_{осн2}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

1. Нахождение площадей оснований

В основаниях правильной усечённой треугольной пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нижнего основания со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_{осн1} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Для верхнего основания со стороной $a_2 = 4$ см:

$S_{осн2} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных трапеций. Чтобы найти их площадь, нам нужна их высота, которая называется апофемой усечённой пирамиды ($l$).

Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 см и боковыми сторонами (рёбрами пирамиды) по $\sqrt{10}$ см. Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота, часть большего основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Длина катета, лежащего на большем основании, равна полуразности длин оснований трапеции:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдём апофему $l$, которая является вторым катетом этого треугольника, а боковое ребро – гипотенузой:

$l^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2$

$l^2 + 1 = 10$

$l^2 = 9$

$l = 3$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) равна:

$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l = \frac{6 + 4}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см².

Так как таких граней три, площадь всей боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 15 = 45$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Складываем площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 45 = (13\sqrt{3} + 45)$ см².

Ответ: $13\sqrt{3} + 45$ см².

211. Сторона большего основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а высота пирамиды — $4\sqrt{6}$ см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а её высота совпадает с высотой пирамиды $h$.

Площадь диагонального сечения вычисляется по формуле площади трапеции: $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

Сначала найдём диагональ большего основания $d_1$. Поскольку в основании лежит квадрат со стороной $a_1 = 10$ см, его диагональ равна: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Далее, найдём диагональ меньшего основания $d_2$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой усечённой пирамиды (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет). Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания по условию равен $\alpha = 60^\circ$. В этом треугольнике высота пирамиды $h = 4\sqrt{6}$ см является катетом, противолежащим этому углу. Длина второго катета, лежащего на диагонали большего основания, равна полуразности диагоналей оснований: $\frac{d_1 - d_2}{2}$.

Используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике, можем записать: $\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d_1 - d_2}{2}}$

Подставим известные значения и найдём полуразность диагоналей: $\frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{h}{\tan(\alpha)} = \frac{4\sqrt{6}}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6}{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная $d_1 = 10\sqrt{2}$ см, найдём $d_2$: $\frac{10\sqrt{2} - d_2}{2} = 4\sqrt{2}$ $10\sqrt{2} - d_2 = 2 \cdot 4\sqrt{2}$ $10\sqrt{2} - d_2 = 8\sqrt{2}$ $d_2 = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь диагонального сечения (трапеции), подставив все найденные значения в формулу: $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h = \frac{10\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6}$ $S = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} = 24\sqrt{12}$ $S = 24\sqrt{4 \cdot 3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

212. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 18 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите высоту усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основаниями являются квадраты, а боковые грани — равнобокие трапеции.

Обозначим сторону большего основания как $a_1$, а сторону меньшего основания как $a_2$. По условию задачи:
$a_1 = 18$ см
$a_2 = 12$ см

Угол, который боковая грань образует с плоскостью большего основания, является двугранным углом. Для его нахождения построим линейный угол. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней) противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию.

Основаниями этой трапеции будут отрезки, соединяющие середины противоположных сторон квадратов-оснований, то есть их длины равны сторонам оснований пирамиды: 18 см и 12 см. Высота этой трапеции является высотой усечённой пирамиды $h$. Боковыми сторонами этой трапеции являются апофемы боковых граней пирамиды. Угол при большем основании этой трапеции и есть заданный угол 30°.

Рассмотрим полученную равнобокую трапецию. Проведём из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Эта высота разделит большее основание на три отрезка. Центральный отрезок будет равен меньшему основанию (12 см), а два боковых отрезка будут равны. Найдём длину одного из этих боковых отрезков, который является катетом в образовавшемся прямоугольном треугольнике:
$k = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет равен 3 см (это отрезок $k$, прилежащий к углу 30°);
• другой катет — это высота усечённой пирамиды $h$ (противолежащий углу 30°);
• острый угол равен 30°.

Соотношение между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{k}$

Выразим отсюда высоту $h$:
$h = k \cdot \tan(30^\circ)$
Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

213. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны $6\sqrt{3}$ см и $24\sqrt{3}$ см, а её высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

1. Найдем периметры оснований.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$.

Сторона меньшего основания $a_1 = 6\sqrt{3}$ см.

Периметр меньшего основания: $P_1 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

Сторона большего основания $a_2 = 24\sqrt{3}$ см.

Периметр большего основания: $P_2 = 3 \cdot 24\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см.

2. Найдем апофему усеченной пирамиды.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, ее апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей $(r_2 - r_1)$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Радиус окружности, вписанной в меньшее основание:

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3$ см.

Радиус окружности, вписанной в большее основание:

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \cdot 3}{6} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Высота пирамиды $H = 12$ см.

$h_a^2 = 12^2 + (12 - 3)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$h_a = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(18\sqrt{3} + 72\sqrt{3}) \cdot 15 = \frac{1}{2}(90\sqrt{3}) \cdot 15 = 45\sqrt{3} \cdot 15 = 675\sqrt{3}$ см².

Ответ: $675\sqrt{3}$ см².

214. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AB = 18$ см, $A_1B_1 = 10$ см. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах $BC$ и $CD$ равны. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если $AA_1 = 15$ см.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ADD_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1}$.

Площадь граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$

По условию, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AD$, лежащим в этой плоскости. Так как основания пирамиды параллельны, то $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1D_1 \parallel AD$. Это означает, что боковые грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ являются прямоугольными трапециями, у которых ребро $AA_1$ является высотой.

Основания трапеции $ABB_1A_1$ равны $AB = 18$ см и $A_1B_1 = 10$ см. Высота трапеции равна $AA_1 = 15$ см.Площадь грани $ABB_1A_1$ равна:

$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{18 + 10}{2} \cdot 15 = \frac{28}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см$^2$.

Аналогично, для трапеции $ADD_1A_1$ основания равны $AD = 18$ см (так как $ABCD$ - квадрат) и $A_1D_1 = 10$ см (так как $A_1B_1C_1D_1$ - квадрат). Высота равна $AA_1 = 15$ см.Площадь грани $ADD_1A_1$ равна:

$S_{ADD_1A_1} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{18 + 10}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см$^2$.

Ответ: Площади граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ равны 210 см$^2$ каждая.

Площадь граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$

Для нахождения площадей граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ рассмотрим полную пирамиду $S-ABCD$, из которой была получена данная усечённая пирамида. Так как ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, то высота полной пирамиды - это ребро $SA$.

Треугольники $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SAB$ подобны. Обозначим высоту малой пирамиды $SA_1 = h$, тогда высота большой пирамиды $SA = h + AA_1 = h + 15$.Из подобия следует отношение:

$\frac{SA_1}{SA} = \frac{A_1B_1}{AB} \implies \frac{h}{h+15} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$9h = 5(h+15) \implies 9h = 5h + 75 \implies 4h = 75 \implies h = 18,75$ см.

Таким образом, $SA_1 = 18,75$ см, а $SA = 18,75 + 15 = 33,75$ см.

Рассмотрим грань $SBC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, а $AB \perp BC$ (поскольку $ABCD$ - квадрат), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$. Следовательно, $SB$ является высотой треугольника $SBC$, проведённой к стороне $BC$.Найдём длину $SB$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ по теореме Пифагора:

$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(33,75)^2 + 18^2} = \sqrt{1139,0625 + 324} = \sqrt{1463,0625} = 38,25$ см.

Аналогично для малой пирамиды, $SA_1 \perp (A_1B_1C_1D_1)$ и $A_1B_1 \perp B_1C_1$, следовательно $SB_1 \perp B_1C_1$. Найдём длину $SB_1$ из $\triangle SA_1B_1$:

$SB_1 = \sqrt{SA_1^2 + A_1B_1^2} = \sqrt{(18,75)^2 + 10^2} = \sqrt{351,5625 + 100} = \sqrt{451,5625} = 21,25$ см.

Площадь грани $BCC_1B_1$ равна разности площадей треугольников $\triangle SBC$ и $\triangle SB_1C_1$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 38,25 = 9 \cdot 38,25 = 344,25$ см$^2$.

$S_{SB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot SB_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 21,25 = 5 \cdot 21,25 = 106,25$ см$^2$.

$S_{BCC_1B_1} = S_{SBC} - S_{SB_1C_1} = 344,25 - 106,25 = 238$ см$^2$.

Аналогичные рассуждения применяем для грани $CDD_1C_1$. Так как $SA \perp (ABCD)$ и $AD \perp CD$, то по теореме о трёх перпендикулярах $SD \perp CD$. $SD$ - высота $\triangle SCD$.Из $\triangle SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(33,75)^2 + 18^2} = 38,25$ см.Для малой пирамиды $SD_1 \perp C_1D_1$.Из $\triangle SA_1D_1$: $SD_1 = \sqrt{SA_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{(18,75)^2 + 10^2} = 21,25$ см.Площадь грани $CDD_1C_1$ равна разности площадей треугольников $\triangle SCD$ и $\triangle SC_1D_1$:

$S_{CDD_1C_1} = S_{SCD} - S_{SC_1D_1} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 38,25 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 21,25 = 344,25 - 106,25 = 238$ см$^2$.

Ответ: Площади граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ равны 238 см$^2$ каждая.

Общая площадь боковой поверхности

Сложим площади всех четырёх боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ADD_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1}$

$S_{бок} = 210 + 210 + 238 + 238 = 420 + 476 = 896$ см$^2$.

Ответ: 896 см$^2$.