Номер 209, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$. Грань $MBC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AB$ и $CD$ равны $30^{\circ}$. Высота пирамиды равна $\sqrt{3}$ см. Найдите площадь грани $AMD$.

Пусть MABCD – заданная пирамида. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Грань MBC перпендикулярна плоскости основания (ABCD). Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины M, лежит в плоскости грани MBC. Пусть MH – высота пирамиды, тогда H – основание высоты, H лежит на прямой BC, и MH ⊥ (ABCD). По условию, $MH = \sqrt{3}$ см.

Найдем линейный угол двугранного угла при ребре AB. Он образуется двумя перпендикулярами к ребру AB, проведенными в гранях MAB и ABCD из одной точки.

• В плоскости основания (ABCD) проведем перпендикуляр к AB. Так как ABCD – квадрат, то BC ⊥ AB. Поскольку точка H лежит на BC, то и HB ⊥ AB.
• Рассмотрим наклонную MB и ее проекцию HB на плоскость основания. Так как проекция HB перпендикулярна прямой AB, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная MB перпендикулярна прямой AB (MB ⊥ AB).
• Таким образом, ∠MBH является линейным углом двугранного угла при ребре AB. По условию, $∠MBH = 30°$.

Аналогично найдем линейный угол двугранного угла при ребре CD.

• В плоскости основания (ABCD) CD ⊥ BC. Поскольку точка H лежит на BC, то и HC ⊥ CD.
• Рассмотрим наклонную MC и ее проекцию HC. Так как HC ⊥ CD, то по теореме о трех перпендикулярах MC ⊥ CD.
• Следовательно, ∠MCH является линейным углом двугранного угла при ребре CD. По условию, $∠MCH = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBH (угол ∠MHB = 90°, так как MH – высота). Из определения тангенса угла:

$tg(∠MBH) = \frac{MH}{HB}$

$HB = \frac{MH}{tg(30°)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}) = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MCH (угол ∠MHC = 90°):

$tg(∠MCH) = \frac{MH}{HC}$

$HC = \frac{MH}{tg(30°)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ см.

Точка H лежит на стороне основания BC. Длина стороны квадрата BC равна сумме длин отрезков HB и HC:

$BC = HB + HC = 3 + 3 = 6$ см.

Следовательно, сторона квадрата ABCD равна 6 см. В частности, $AD = 6$ см.

Теперь найдем площадь грани AMD. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону AD. Найдем высоту MK, проведенную из вершины M к стороне AD.

Для нахождения длины MK воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

• MH – перпендикуляр к плоскости (ABCD).
• Проведем из точки H перпендикуляр HK к прямой AD. Так как ABCD – квадрат, то AB ⊥ AD и BC || AD. Поскольку H лежит на BC, то отрезок HK, перпендикулярный AD, будет параллелен AB, и его длина будет равна стороне квадрата. Таким образом, HK ⊥ AD и $HK = AB = 6$ см.
• По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция HK перпендикулярна прямой AD, то и наклонная MK перпендикулярна прямой AD (MK ⊥ AD). Значит, MK – это высота треугольника AMD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKH (угол ∠MHK = 90°, так как MH ⊥ (ABCD), а HK лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора:

$MK^2 = MH^2 + HK^2$

$MK^2 = (\sqrt{3})^2 + 6^2 = 3 + 36 = 39$

$MK = \sqrt{39}$ см.

Теперь можем вычислить площадь грани AMD:

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{39} = 3\sqrt{39}$ см².

Ответ: $3\sqrt{39}$ см².