Номер 204, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 30°.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $30°$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Также для такой пирамиды справедлива формула, связывающая площадь боковой поверхности и площадь основания:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

где $\alpha$ — двугранный угол при ребре основания. В нашем случае $\alpha = 30°$.

Таким образом, задача сводится к нахождению площади основания $S_{осн}$.

1. Нахождение параметров и площади основания (равнобокой трапеции)

Основанием является равнобокая трапеция. Пусть ее боковая сторона равна $c = 8$ см, а острый угол при основании равен $60°$.

Поскольку в основание пирамиды можно вписать окружность, то для этой трапеции выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Тогда:

$a + b = c + c = 2c = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из углов — острый угол трапеции $60°$.

$h = c \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции (основания пирамиды):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой и полной поверхности пирамиды

Теперь, зная площадь основания, найдем площадь боковой поверхности, используя двугранный угол $\alpha = 30°$:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30°)} = \frac{32\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 32\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 64$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 32\sqrt{3} + 64$ см².

Можно вынести общий множитель за скобки для более компактной записи:

$S_{полн} = 32(2 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна $64 + 32\sqrt{3}$ см² или $32(2 + \sqrt{3})$ см².